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1. example
下图是构建max-heap的详细过程。
worst-case下的时间复杂度分析
2. insert - O(logn)
在worst-case下,新插入的node 需要不断的和它的parent进行swap,直到它为root为止,正如上图所示。
假设 heap的高度为h, binary tree最多有2^(h+1) - 1 个 nodes. 因此新插入一个node最多需要log(n+1) -1 次comparisons. big O is O(logn)
3. build - O(n)
从example里看出,build the heap可以通过连续的insertion完成,每次insertion需要O(logn), 有n个nodes,因此build的时间复杂度为O(nlogn)。
Question:但是,为什么wiki里说build的时间复杂度为O(n)呢?
Answer:因为利用多次insertions来build a heap不是最优的算法。具体算法可参考这里。另外,这篇博客对时间复杂是O(n)进行了证明。简而言之就是,build的最优方法采用的是递归,自下而上的build。