AtCoder Beginner Contest 145

传送门

A - Circle

签到。

B - Echo

签到到。

C - Average Length

要卡下精度，可用二分或者long double来搞。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/16 20:04:44
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 10;
const double eps = 1e-6;
int n;
struct Point{
    int x, y;   
}p[N];
int a[N];
double dis(Point A, Point B) {
    double tmp = 1.0 * (A.x - B.x) * (A.x - B.x) + 1.0 * (A.y - B.y) * (A.y - B.y);   
    double l = 0, r = tmp, mid;
    for(int i = 1; i <= 500; i++) {
        mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid < tmp) l = mid;
        else r = mid;   
    }
    return r;
}
void run(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;
    double ans = 0;
    int tot = 0;
    do {
        ++tot;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            ans += dis(p[a[i]], p[a[i - 1]]);
        }
    } while(next_permutation(a + 1, a + n + 1));
    ans = ans / tot;
    cout << ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

D - Knight

题意：
现在有个棋子位于\((0,0)\)点，当棋子位于\((i,j)\)时，可以跳向\((i+1,j+2),(i+2,j+1)\)这两个格子。
问有多少种方式可以到点\((x,y)\)。

思路：
由于\(x,y\leq 10^6\)，显然直接\(dp\)不行。
然后找规律，从终点往回跳来模拟一下，发现最终会形成多条斜率为\(1\)的直线，每跳直线上面相关点的答案为一个组合数。
然后发现最终\((0,0)\)点所在的层数为\(\frac{x+y}{3}\)，最终答案就是\(\frac{x+y}{3}\choose t\)。
细节在纸上画一下就出来了。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/16 20:26:13
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e6 + 15, MOD = 1e9 + 7;

int fac[N];

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;   
    }
    return ans;   
}

int C(int n, int m) {
    return 1ll * fac[n] * qpow(fac[n - m], MOD - 2) % MOD * qpow(fac[m], MOD - 2) % MOD;
}

void run(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    if((x + y) % 3 != 0) {
        cout << 0;
        return;
    }
    int t = (x + y) / 3;
    if(y - t >= 0 && y - t <= t) {
        cout << C(t, y - t);
    } else cout << 0;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

E - All-you-can-eat

题意：
现在有\(n\)盘菜，每盘菜需要\(a_i\)的时间去吃，有\(b_i\)的美味度。
现在有如下规则：

• 点了一盘菜之后，只能将其吃完后才能点下一盘菜。
• \(T\)时刻过后就不能再点菜了，但是依旧可以吃菜。
• 每种菜只能点一次。

最后问最后能够得到的最大美味度是多少。

思路：

• 注意比较重要的一点，无论最终点菜顺序是什么，我们都可以将某一份菜安排在\(T\)时刻来点。
• 那么之后问题就变得很简单了：总共有\(T-1\)时刻，然后相当于一个背包问题，直接\(dp\)需要\(O(n^2)\)。
• 但是我们需要枚举哪个菜在最后点，所以总复杂度为\(O(n^3)\)的，显然时间复杂度不能承受。
• 由于我们只关注的是某一个菜不选，那么我们可以预处理一个前后缀的\(dp\)，\(dp1[i][j]\)表示\(1\)~\(i\)的物品中，总时间不超过\(j\)的最大美味度，\(dp2[i][j]\)同理。
• 最终时间复杂度为\(O(n^2)\)。

直接来做这个题因为可以超出时间限制，所以不好定义状态，但是钦定最后一个位置后问题就得到转换。
前后缀\(dp\)预处理还是比较巧妙QAQ。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/18 15:30:25
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 3005;

int n, t;
int a[N], b[N];
int dp1[N][N], dp2[N][N];

void run(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= t - 1; j++) {
            dp1[i][j] = dp1[i - 1][j];
            if(j >= a[i]) 
                dp1[i][j] = max(dp1[i][j], dp1[i - 1][j - a[i]] + b[i]);
        }   
    }
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
        for(int j = 1; j <= t - 1; j++) {
            dp2[i][j] = dp2[i + 1][j];
            if(j >= a[i])
                dp2[i][j] = max(dp2[i][j], dp2[i + 1][j - a[i]] + b[i]);   
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= t - 1; j++) {
            ans = max(ans, dp1[i - 1][j] + dp2[i + 1][t - 1 - j] + b[i]);
        }   
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> t) run();
    return 0;
}

 
这个题还有更巧妙的解法：假设我们知道了最后点的哪些菜，那么显然我们总能把耗时最多的安排在\(T\)时刻来点。
这时问题转换地更进一步：假设钦定了最后一位，那么前面只能选择耗时不超过它的。
所以直接处理出上面的\(dp1[i][j]\)，同时维护一个后缀最大值即可。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/18 15:30:25
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 3005;

int n, t;
struct node {
    int a, b;   
    bool operator < (const node &A) const {
        return a < A.a;   
    }
}p[N];
int maxv[N];
int dp[N][N];

void run(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].a >> p[i].b;
    sort(p + 1, p + n + 1);
    for(int i = n; i >= 1; i--) maxv[i] = max(maxv[i + 1], p[i].b);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= t - 1; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= p[i].a) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - p[i].a] + p[i].b);
        }
        ans = max(ans, dp[i][t - 1] + maxv[i + 1]);
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> t) run();
    return 0;
}

F - Laminate

题意：
现在有\(n\)个柱子排在一起，每个柱子有个高度\(h_i,0\leq h_i\leq 10^9\)。
现在有至多\(k\)次机会任意修改某些柱子的高度。
之后会执行操作：每次可以横向消去一段连续的柱子。问最终最少的操作次数是多少。

思路：
这个题感觉直接做也没什么思路...太菜了555。
就感觉问题很抽象，考虑很多情况，一般这种感觉将问题形象化、具体化是解题的关键，比如这个题，我们考虑\(k=0\)的情况，那么最终的答案为：
\[ \sum_{i=1}^{n}max(0,h_i-h_{i-1}) \]
然后有个结论：如果修改一根柱子，假设其位置为\(i\)，那么最终其高度在\([h_{i-1},h_{i+1}]\)之间是最优的。

这个结论较为显然，那么我们可以直接钦定：修改操作即令\(h_i=h_{i-1}\)。
进一步观察可以发现，操作等价于删除一根柱子。

这个时候解法就呼之欲出了，可令\(dp[i][j]\)表示前\(i\)根柱子，保留\(j\)根的最小操作次数。
那么有转移：\(dp[i][j] = min\{dp[k][j-1]+max(0,h_i-h_k),j<i\}\)。
直接\(O(n^3)\)来搞就没了。

P.S：这个可以将后面\(max\)操作打开，然后用树状数组维护两个值来优化，复杂度可以达到\(O(n^2logn)\)

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/18 18:16:10
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 300 + 5;

int n, K;

int h[N];
ll dp[N][N];

void run(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    memset(dp, INF, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n - K; i++) {
        for(int j = i; j <= n; j++) {
            for(int k = 0; k < j; k++) {
                dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k][i - 1] + max(0, h[j] - h[k]));   
            }
        }   
    }
    ll ans = INF;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, dp[i][n - K]);
    if(ans == INF) ans = 0;
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> K) run();
    return 0;
}