求证:\(\forall x>0,x\mathrm{e}^x\geqslant {\ln}x+x+1\).
解析:
法一 由于我们孰知\(\forall x\in\mathbb{R},\mathrm{e}^x\geqslant x+1\),所以\[LHS=x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{x+{\ln}x}\geqslant x+{\ln}x+1=RHS.\]
法二 构造函数\[f(x)=x\mathrm{e}^x-x-{\ln}x-1,x>0,\]求导有\[f'(x)=(x+1)\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{x}\right),x>0.\]易知\(f'(x)\)单调递增,并且有\[f'\left(\dfrac{1}{4}\right)<0<f'(1).\]因此必存在唯一零点\(x_0\in\left(\dfrac 14,1\right)\),即有\(\mathrm{e}^{x_0}=\dfrac{1}{x_0}\),两边同取对数可得\(x_0=-{\ln}x_0\),于是我们有\[\forall x>0,f(x)\geqslant f(x_0)=x_0\mathrm{e}^{x_0}-x_0-{\ln}x_0 -1=1-x_0-x_0-1=0.\]