好像所有讲概率论的文章\视频都离不开抛骰子或抛硬币这两个例子, 因为抛骰子的确是概率论产生的基础, 赌徒们为了赢钱就不在乎上帝了才导致概率论能突破宗教的绞杀, 所以我们这里也以抛骰子和抛硬币这两个例子.
我们先来过一遍基本概念:
- 随机试验. 在抛骰子的过程中，我们注意到，在相同条件下，我们每一次抛骰子的时候，我们无法得知骰子最后静止时，骰子的哪一面向上，但是我们通过不断的抛骰子的过程中发现，结果无非是1,2,3,4,5,6六个点之一。随机试验：
1. 试验可以在相同条件下重复地进行。
2. 试验的结果不止一个，且事先可以明确实验的所有可能结果，
3. 试验之前无法预知会出现哪一个结果。
- 样本空间. 已知一个随机事件，其所有可能结果组成的集合称为样本空间。在抛骰子这个例子中, 样本空间s={1,2,3,4,5,6}
- 样本点. 随机事件可能的结果称为样本点。在抛骰子这个例子中, 1,2,3,4,5,6六个点之中的每个点都称为样本点, 可见, 样本空间由样本点组成.
- 随机事件,样本空间中满足某些条件的子集，称为随机事件。比如"出现偶数"
- 基本事件. 一个样本点
- 不可能事件. 空集, 比如出现0点
- 随机事件发生. 所发生的随机事件在随机事件集合内
- 完备事件组.事件之间所包含元素互不相同,所有事件组加起来刚好构成样本空间全集
随机事件关系有如下几种(其实就是集合, 1933年，俄国数学家Andrei N. Kolmogorov建立了概率论的公理化体系，严格定义了概率论的语言。正如现代数学的其他学科一样，概率论的公理化体系同样基于集合论。公理化的概率论体系基于几条简单易懂的公理，衍生出整个概率论的体系。学习这个公理化的体系，可以消除直觉中的许多混淆。这一公理体系的核心是“概率测度”。):
- 包含关系：A⊂B 即事件B包含事件A, 事件A发生必然会导致事件B发生
- 相等关系：A=B A⊂B,B⊂A
- 和关系 ：A∪B 事件A与事件B至少发生一个
- 积事件： A∩B 即A交B 事件A与事件B同时发生。所谓的事件同时发生，由于随机事件是样本空间的子集，也就是它由一系列的样本点组成。所以，两个事件的样本点有交集时，相同的样本点发生，即为事件A与事件B同时发生。
- 并集. D=A∪B
- 差事件：A−B B不发生而A发生。
- 逆事件或对立事件:
- 互斥事件. 空集Φ是一个不包含任何元素的集合。如果两个集合的交集为空集，即M∩N=Φ，那么这两个集合不相交。在概率论中，不相交的两个事件互斥。
事件的运算(其实就是集合的运算,和加法一样，集合的交并集运算同样有运算法则。):
- 交换律. A∪B=B∪A 和 A∩B=B∩A
- 结合律. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)和(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
- 分配律. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)和 (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
- 德摩根律.
接来下我们继续用python来进行讲解.
下面我们使用python实现集合的运算:
A = set([1, 2, 3, 4,5,6]) B = set([3, 4, 5, 6,7,8]) print(A & B) # 交集 intersection print(A | B) # 并集 union print(A - B) # 求差集（项在A中，但不在B中） difference, element in A, and not in B print(A ^ B) # 对称差集（项在A或B中，但不会同时出现在二者中 symmetric difference, (A | B) - (A & B)
下面我们使用in来判断元素是否属于集合，以及用>, >=, <, <=来判断两个集合的归属关系，比如一个集合是另一个集合的子集。
A = set([1, 2,3,]) B = set([1, 2,3,4,5,6]) print(1 in A) # element print(A < B) # subset
下面我们返回集合中元素总数，集合最大值，集合最小值, 增加和删除元素. 注意根据概率论, 集合中是不会有重复的元素的:
A = set([1, 2,3,4,5,6]) set_len = len(A) print(set_len) A.add(6) # add an element print(A) A.remove(2) # remove an element print(A) A.add(1) print(A) # a set has no repeated elements
当不方便用python时, 很遗憾微软数学app不支持集合操作, 这里是微软数学所支持的数学计算.
有用链接:
为了方便搜索资料, 现在列出本节所用到的英文术语名词:
- 集合 - set
- 随机试验 - Random experiment
- 样本空间 - sample space 一般用Ω表示
- 样本点 - 待确认
- 随机事件 - Random event
- 基本事件 - Elementary event
- 不可能事件 - Impossible event
- 随机事件发生 - 待确认
- 完备事件组 - 待确认
- A⊂B - 待确认
- A=B - 待确认
- A∪B - 待确认
- A∩B - 待确认
- 交换律. - 待确认
- 结合律. - 待确认
- 分配律 -待确认
- 德摩根律 - 待确认