一、Multiple Features
这节课主要引入了一些记号，假设现在有n个特征，那么：
为了便于用矩阵处理，令\(x_0=1\)：
参数\(\theta\)是一个(n+1)*1维的向量，任一个训练样本也是(n+1)*1维的向量，故对于每个训练样本：\(h_\theta(x)=\theta^Tx\)。
二、Gradient Decent for Multiple Variables
类似地，定义代价函数：
同时更新参数直到\(J\)收敛：
\[\theta_j:=\theta_j-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\]
三、Feature Scaling
这些特征的值如果有着近似的尺度，那么梯度下降会收敛得更快，其实就是归一化。
Andrew建议将特征的值缩放到[-1,1]之间：
\[x_i=\frac{x_i-u_i}{s_i}，u_i是平均值，s_i可以取max-min或者取标准差\]
四、Learning Rate
1、梯度下降收敛所需的迭代次数是不确定的，可以通过绘制迭代次数与\(J\)的图来预测何时收敛；也可以通过代价函数的变化是否小于某个阈值来判断。
2、学习率一般可以尝试0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，0.3，1...
五、Features and Polynomial Regression
线性回归有时候并不适用，有时需要多项式回归。
多项式回归可以转化为线性回归。
六、Normal Equation
正规方程通过直接求导，使得导数为0，进而求得\(\theta\)的解析解，使得\(J\)最小，而不需要像梯度下降那样迭代。
X是m*(n+1)特征矩阵，y是m*1向量，由图容易得出：
\(y=X\theta\)（这公式显然是错的。。。\(y\)只是采集到的标签），解出\(\theta=X^{-1}y\)（所以结论也是错的），这样得到的\(\theta\)显然不能使得损失函数最小。
课程里写成了\(\theta=(X^TX)^{-1}X^Ty\)，详细推导是通过对代价函数求导得到的。这个公式不能化简为\(\theta=X^{-1}y\)，因为只有\(X^T\)和\(X\)都可逆，才有\((X^TX)^{-1}=X^{-1}(X^T)^{-1}\)。
两种算法的比较：
正规方程只适用于线性模型，而且不需要Feature Scaling。