运动积分
在力学系统的运动过程中，描述其状态的 \(2s\) 个变量 \(q_i, \dot q_i \quad(i = 1, 2, \cdots, s)\) 随时间变化。但是存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅由初始条件决定，这样的函数称为 运动积分。
能量守恒
由 时间均匀性 可推导出 能量守恒。
由于时间具有均匀性，封闭系统的拉格朗日函数 \(L\) 不显含时间 \(t\)，则有
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{dL}{dq} \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = C\]
已经由最小作用量原理，推导出了系统的拉格朗日方程（微分运动方程），有
\[\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) = \frac{dL}{dq}\]
代入上式则有
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{dL}{dq} \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \ddot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \frac{d}{dt} \dot q\]
进一步得到
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q}) \dot q + \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \frac{d}{dt} \dot q = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot q} \dot q) = \frac{d}{dt}(\sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q)\]
因此有
\[\frac{d}{dt}(\sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q) - \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} ( \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q - L)= 0\]
因此可知
\[E = \sum_i \frac{dL}{d\dot q} \dot q - L\]
在封闭系统运动过程中保持不变，是运动积分，称为系统的能量。
封闭系统的拉格朗日函数可以写成
\[L = T(q, \dot q) - U(q)\]
动量守恒
由空间的均匀性可以推导出 动量守恒。
由于空间的均匀性，封闭力学系统在空间中发生平移时，其性质保持不变。那么，当期位置从 \(\boldsymbol{r}_\alpha\) 移动至 \(\boldsymbol{r}_\alpha + \boldsymbol{\varepsilon}\) 。==在速度不变时==，坐标无穷小的改变使拉格朗日函数发生改变
\[\delta L = \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \delta \boldsymbol{r}_\alpha = \boldsymbol{\varepsilon} \cdot \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}\]
对于任意 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ，有 \(\delta L\) 为零，则
\[\sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} = 0\]
由系统的拉格朗日方程可得
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\]
用 \(\boldsymbol{r}_\alpha\) 代换广义坐标 \(q_i\)，用 \(\boldsymbol{v}_\alpha\) 代换广义速度 \(\dot q\)，即为
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}\]
代入上式，有
\[\sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} = \sum_\alpha \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = \frac{d}{dt} \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} = 0\]
那么，则有
\[\boldsymbol{P} = \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha}\]
在运动中保持不变，矢量 \(\boldsymbol{P}\) 称为系统的动量。
在没有外场的情况下，动量矢量的三个分量都守恒。然而，在有外场的情况下，如果是能不显含某个笛卡尔坐标，则相应的该方向的动量分量守恒。
角动量守恒
由空间各向同性可得到封闭系统的角动量守恒。
各向同性 意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学特性保持不变。引入无穷下转动矢量 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\)，其大小等于转角 \(\delta\varphi\)，方向沿转动轴。
当转过 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\) 时，个质点径矢变化为
\[|\delta \boldsymbol{r}| = r sin \theta \cdot \delta\varphi\]
位移矢量的方向垂直过 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\) 的平面，显然有
\[\delta \boldsymbol{r} = \delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{r}\]
在系统转动时，不仅径矢的方向改变，而且所有质点的速度也发生改变，并且所有矢量的变化规律相同，所以，速度相对固定坐标系的增量为
\[\delta \boldsymbol{v} = \delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{v}\]
当发生转动时，拉格朗日函数不变，即有
\[\delta L = \sum_\alpha (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha} \cdot \delta \boldsymbol{r}_\alpha + \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha} \cdot \delta \boldsymbol{v}_\alpha) = 0\]
在推导动量守恒时，定义了
\[\boldsymbol{p}_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_\alpha}\]
为质点的动量。代入拉格朗日方程得到
\[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial r}\]
有
\[\boldsymbol{\dot p}_\alpha = \frac{d}{dt} \boldsymbol{p}_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}\]
代入上式，有
\[\delta L = \sum_\alpha (\boldsymbol{\dot p}_\alpha \cdot \delta \boldsymbol{r}_\alpha + \boldsymbol{p}_\alpha \cdot \delta \boldsymbol{v}_\alpha) = \sum_\alpha (\boldsymbol{\dot p}_\alpha \cdot (\delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{r}) + \boldsymbol{p}_\alpha \cdot (\delta \boldsymbol{\varphi} \times \boldsymbol{v})) = 0\]
由 \(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a})\) 可将上式转化为
\[\delta L = \sum_\alpha (\delta \boldsymbol{\varphi} \cdot (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha [(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha)] = 0\]
又由 \(AdB + BdA = dAB\) 以及 $ v = dr/dt$，可得如下公式：
\[\delta L = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha [(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\dot p}_\alpha) + (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{p}_\alpha)] = \delta \boldsymbol{\varphi} \cdot \sum_\alpha \frac{d}{dt}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = 0\]
又由于转角 \(\delta \boldsymbol{\varphi}\)的任意性，那么，封闭系统满足
\[\sum_\alpha \frac{d}{dt}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha) = 0\]
即有，封闭力学系统运动过程中，矢量
\[\boldsymbol{M} = \sum_\alpha \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}_\alpha\]
恒定不变，这个物理量称之为系统的角动量。
任何封闭系统总共有 7 个这样的运动积分：能量、动量的三个分量和角动量的三个分量。