夹逼定理放缩法

夹逼定理放缩法

定理1:设 $a_n \leq b_n \leq c_n,且\underset{n\to \infty}{\lim}a_n = \underset{n\to \infty}{\lim}c_n = A,则 \underset{n\to \infty}{\lim}b_n = A$

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定理2:设 $f(x)\leq g(x) \leq h(x),且\lim f(x) = \lim h(x) = A,则\lim g(x) = A$

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注解:

1.使用夹逼定理求数列 $b_n$时，首先找出它的左右两个数列 $a_n和c_n$,使得 $a_n \leq b_n \leq c_n$,其次要求出 $a_n和c_n$存在且相等，此时就能得出数列 $b_n$的极限了

2.n 项的和求极限时，若各项分子的次数或分母的次数不齐，一般使用夹逼定理

例题

$\underset{n\to \infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}})$

分析：分子的次数都是0次方，是齐的。而分母的次数一个是平方，一个是1次方，是不齐的。根据注解2，我们使用夹逼定理。

令数列 $b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$

这个时候我们要找出两个数列 $a_n和c_n使得a_n \leq b_n \leq c_n$，原则就是齐的部分保留不动，放缩不齐的部分

如何缩小？分子相同的情况下，分母越大值就越小。

如何放大？分子相同的情况下，分母越小值就越大。

得
$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \leq b_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

为什么分子是n？ 因为 $b_n中有n个1相加，为保持分子不变，所以两边数列的分子也是n个1相加，也就是n$

求 $a_n和c_n$的极限

$\underset{n\to \infty}{\lim} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \overset{分子分母同时除n}{\Longrightarrow}\underset{n\to \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1$

$\underset{n\to \infty}{\lim} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \overset{分子分母同时除n}{\Longrightarrow}\underset{n\to \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$

根据夹逼定理

$\therefore$原式=1