关于图论中Tarjan算法的一些总结

Tarjan算法求强连通分量

前置知识

$1.$有向图：一个只由有向边构成的图，Tarjan算法只适用于有向图。

$2.$强连通：

对于两个点 $A,B$，如果他们之间可以相互到达，那么就称点 $A,B$强联通。

对于一个图 $G$，如果其任意两个顶点都是强联通的，那么这个图就是一个强联通图。

对于一个非强联通图 $G$，如果其某一子图 $G'$为强联通图，那么 $G'$就被称为图 $G$的强连通分量。

算法实现

先来看一些定义（下图摘自oi-wiki）：

右图叫做左图的dfs生成树。

而有向图的dfs生成树有 $4$种边：

树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。

反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。

横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 并不是 当前结点的祖先时形成的。

前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

下面给出一个详细解释：

$1.$树边

在搜索未被访问过的点时经过的边，即在下面的代码中，如果我们搜到了点 $u$，且对于一条边 $(u,v)$， $v$点未被访问过，那么边 $(u,v)$即为一条树边。

所有的树边构成一棵搜索树。

void dfs(int u){
	for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
		int v=to[e];
		if(!vis[v])  dfs(v);
	}
}

$2.$反祖边

由于递归本质上是在一个栈中进行的，我们搜索一个点时将其压入栈，结束时将其弹出。如果我们搜到了点 $u$，且对于一条边 $(u,v)$， $v$点还在搜索栈中，那么边 $(u,v)$即为一条反祖边。

更通俗一点来说，对于在一次dfs中搜到的边 $(u_1,u_2),(u_2,u_3),...,(u_{n-1},u_n)$来说，如果对于 $u_n$的一条出边 $(u_n,v)$， $v是u_1,u_2,...,u_{n-1}$中的一个，那么该边即为一条反祖边。

$3.$横叉边

如果我们搜到了点 $u$，且对于一条边 $(u,v)$， $v$点已被访问过但不在搜索栈中，那么边 $(u,v)$即为一条横叉边。

更通俗一点来说，对于在一次dfs中搜到的边 $(u_1,u_2),(u_2,u_3),...,(u_{n-1},u_n)$来说，如果对于 $u_n$的一条出边 $(u_n,v)$， $v已被访问过，但不是u_1,u_2,...,u_{n-1}$中的一个，那么该边即为一条横叉边。

$4.$前向边

当我们递归完一个结点 $u$的一条边指向的点 $v$的一个可以到达的点的集合（即一棵搜索树）时，如果 $u$的另外一条边直接指向该集合中的点，那么该边被称为一条前向边。

找到强连通分量的方法

首先有一个性质：我们假设 $u$是某一个强连通分量在搜索树中第一个访问到的结点，那么强连通分量一定存在于以 $u$为根的子树中。

证明：我们假设某一点 $v$在该强连通分量中但不在以 $u$为根的子树里，那么由于 $u,v$连通，那么从 $u$到 $v$的路径里一定存在一条不在子树里的边。根据上文的定义，该边一定为一条横叉边或返祖边，那么 $v$已经被访问过，与 $u$是第一个访问到的结点矛盾，故上述结论成立。

tarjan算法

定义两个数组： $dfn[N],low[N]$。

$dfn[u]$表示点 $u$被搜索到时的时间戳。

$low[u]$表示点 $u$通过一些边能够到达的搜索栈里的最早的时间戳。

其中 $dfn[u]$是在一开始就已确定，不再改变吗，那么下面我们着重讨论如何更新 $low$。

对于一个点 $u$，我们考虑它自己的另外没有被搜索过的边，如果 $v$被搜索过且 $dfn[v]$小于 $dfn[u]$，那么 $v$的访问时间一定比 $u$早，更新 $low[u]$

然后考虑 $u$子树中的结点 $v$,如果 $v$可以到达一个点，且该点的 $dfn$小于 $dfn[u]$，且在搜索栈里，那么该点必定在 $u$之前被搜索到并且 $u$可以通过 $v$来到达该点。

如果点 $v$不在搜索栈里，那么 $v$所在的强连通分量一定被处理过，所以我们不考虑。

我们来看这样一张图，箭头代表了每个点的 $low$值（边的方向为 $↘$）

该图中只有一个点 $dfn=low$，也就是 $1$号点。由于上面的点能够到达任意一个下面的点，所以如果下面的点 $low$可以到达上面的点，那么这些点可以构成一个强连通分量。

当一个点的 $low=dfn$，那么它必定无法回到上面的点，也就是它就是一个强连通分量的顶点。

Code HAOI2006受欢迎的牛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')  f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int low[100005],dfn[100005],vis[100005],ind=0;
int first[200005],nxt[200005],to[200005],tot=0;
int col[100005],sz[100005],cnt=0,n,m,cd[100005];
int X[200005],Y[200005];
void Add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}
stack<int> s;
void tarjan(int u){
	s.push(u);
	vis[u]=1;
	dfn[u]=low[u]=++ind;
	for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
		int v=to[e];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(vis[v]){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		cnt++;
		int x;
		do{
			x=s.top();
			s.pop();
			col[x]=cnt;
			sz[cnt]++;
			vis[x]=0;
		}while(x!=u);
	}
}
int main(){
	n=Read(),m=Read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		X[i]=Read(),Y[i]=Read();
		Add(X[i],Y[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i])  tarjan(i);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(col[X[i]]!=col[Y[i]]){
			cd[col[X[i]]]++;
		}
	}
	int ans=0,ff=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		if(cd[i]==0)  ff++,ans+=sz[i];
	}
	if(ff>1)  cout<<0<<endl;
	else  cout<<ans<<endl;
}

割点与割边

割点

定义：在无向连通图中，如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉，图就不再连通，那么这个点就叫做割点。

还是上面这张图。

我们想象如果一个点的下面的点的 $low$值大于等于该点的 $dfn$，那么该点下面的点只能到达在该点之后搜索的点，即以该点为根节点的子树。这就意味着如果删掉那个点，这个图将不再连通。

所以我们求割点是只需要判断low[v]>=dfn[u]，然后标记该点即可。

注意特判根节点是否有多于一个孩子，如果是，那根节点也是割点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int Read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')  f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
inline void Write(int x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9){
		Write(x/10);
	}
	putchar(x%10+'0');
}
int first[200005],nxt[200005],to[200005],tot=0;
int dfn[200005],low[200005],ind=0,cut[200005];
inline void Add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}
inline void tarjan(int u,int rt){
	int child=0;
	dfn[u]=low[u]=++ind;
	for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
		int v=to[e];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,rt);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=rt)  cut[u]=1;
			if(u==rt)  child++;
		}
		low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(u==rt&&child>=2)  cut[rt]=true;
}
int main(){
	int n,m,ans=0;
	n=Read(),m=Read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=Read(),y=Read();
		Add(x,y);
		Add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i])  tarjan(i,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cut[i])  ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cut[i])  cout<<i<<" ";
	}
}

割边

定义大致同割点，一条边为割边的条件为割掉该边后使原图不再连通。

继续使用刚才的方法进行理解。

如果需要割掉一条边使得图不再连通，那么该边的另一个结点必定无法通过其他边来到达上面的结点，也就是以 $u$为根的子树里的点只能到达比 $u$更后面的结点，即low[v]>dfn[u]，对割点程序稍加改动即可。

割点和割边对有向图和无向图均适用

双连通分量

强连通分量是关于有向图的，那么对于无向图有没有上述性质呢？

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$ ，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$ 边双连通 。

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$ ，如果无论删去哪个点（只能删去一个，且不能删 $u$ 和 $v$ 自己）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$ 点双连通 。

双连通分量的定义类似于强连通分量的定义。

求出双连通分量

方法很简单。

割点是点双连通分量的交点。

割边连接两个边双连通分量。

求出割点和割边，然后进行缩点即可。

几个重要性质

一个割点同时属于多个点双连通分量。

边双连通分量和割边共同组成一棵树。