1.10 环的同态和理想

§10 环的同态和理想

对环也有同态的概念：

定义1.10.1（环的同态）

设 $L,L'$ 是两个环， $\sigma$ 是 $L$ 到 $L'$ 的一个映射。若对于 $\forall a,b \in L$， $\sigma$ 具有性质：

1. $\sigma(a+b) = \sigma(a) + \sigma(b)$
2. $\sigma(ab) = \sigma(a) \sigma(b)$

则 $\sigma$ 称为环 $L$ 到 $L'$ 的一个同态映射，或简称同态。简记为： $\sigma: L \mapsto L'.$

显见，环的同态是 $L$ 的加法群的同态。并且知： $\sigma(L)$ 是 $L'$ 的一个子环。

定义1.10.2（零同态，满同态，同态象）

若 $\sigma(L) = \{0\}$，称其为零同态；
若 $\sigma(L) = L'$，称其为满同态， $L'$称为 $L$ 的一个同态象。

定义1.10.3（核）

设 $\sigma: L \mapsto L'.$ 定义其核为：
$ker(\sigma) = \{a \in L | \sigma(a) = 0\}.$

若 $a, b \in ker(\sigma)$，则：
$\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b) = 0,$
即 $ab \in ker(\sigma)$.
也就是说：同态 $\sigma$ 的核是 $L$ 的一个子环。

定义1.10.4（理想）

设 $L$ 是一环， $I \in L$ 是 $L$ 的一个加法子群，若对于 $\forall r\in L, a \in L$ 有：
$ra \in I, ar\in I,$
则称 $I$ 为 $L$ 的一个理想（双边理想）。

若 $L$ 的一个加法子群 $I$ 只满足 $ra \in I$（或 $ar \in I$）对于 $\forall r\in L,a\in I,$

则称 $I$ 为 $L$ 的一个左（右）理想。

显然， $\{0\}$ 和 $L$ 都是环 $L$ 的理想，称其为平凡的理想。