L1 L2正则化修正版

参考博文： L1 L2详解

正则化 主要是刻画模型的复杂度，使得模型 不任意的拟合数据中的随机噪声点。

cvte一面面了这个，根据他的提示，更新对L1、L2正则的理解：

1.   L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型(w比较多等于0..)， 可用于特征选择.   C是损失函数(loss)

首先解释 为什么参数变稀疏了：因为L1正则是|w|，在训练使 loss(即C)变小的过程中，|w|也是在变小的... 什么的绝对值最小呢？

0啊.....所以很多w就往0靠近， 0一多，w矩阵/向量 自然就稀疏了啊~   这算是L1正则使w趋向0的数学角度解释吧...

那为什么说他可用于特征提取呢？因为w是乘在特征上的(wx)，被w=0乘的特征就被忽略了呗，这就起到筛选特征的作用了...

再说一下为什么要提取特征：

通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

为什么L1增则可以使w趋向0：

假设有如下带L1正则化的损失函数： 

J=J0+α∑|w|

J0 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， α 是正则化系数。注意到L1正则化是权值的 绝对值之和 ， J 是带有绝对值符号的函数，因此 J 是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 J0 后添加L1正则化项时，相当于对 J0 做了一个约束。正则项为L ，则 J=J0+L， 此时我们的任务变成 在L约束下求出J0取最小值的解 。考虑二维的情况，即只有两个权值 w1w2 ，此时 L=|w1|+|w2|。 对于梯度下降法，求解 J0 的过程可以画出等值线(确切的说是画J0的等值线/圈，就是下图一圈圈颜色一样的线对应的J0值其实是一样的，所以是等值线)，同时L1正则化的函数 L 也可在 w1w2 的二维平面上画出来。如下图：

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解(因为第一次相交刚好可以使J0有解且损失函数项和正则化项是极小值。如果不是第一次相交，菱形会往外扩张，椭圆也会向外扩张，虽然也是J0的解，但并不是最小的解)。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是： (w1,w2)=(0,w) 精髓之处，，这里产生0了！！！我们要的w=0！！！。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择的原因。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数： 

J=J0+α∑ww2

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

2.  L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）主要要答到抗扰动这个点！！！

L2正则使得参数更小，拟制了过拟合。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。 因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程， 若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响， 专业一点的说法是『抗扰动能力强』(这个抗扰动，那个cvte 的面试官也是这么说的)。

为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

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先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

再补充下L0范数：

L0：是指向量中非0的元素个数，用于产生稀疏性，但是在实际研究中很少用，因为L0范数很难优化求解，是一个NP-hard问题，因此更多情况下我们是使用L1范数。