计算系数（组合数）

题目描述

给定一个多项式(ax+by)^k，请求出多项式展开后x^n*y^m 项的系数。

输入格式：

共一行，包含5 个整数，分别为 a ，b ，k ，n ，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

输入样例：

1 1 3 1 2

输出样例：

说明

数据范围

对于30% 的数据，有 0 ≤k ≤10 ；

对于50% 的数据，有 a = 1，b = 1；

对于100%的数据，有 0 ≤k ≤1,000，0≤n, m ≤k ，且n + m = k ，0 ≤a ，b ≤1,000,000。

思路：

ans为C(m+n,n) * a^n * b^m

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int MOD=10007;
 7 ll a,b,k,n,m;
 8 ll powMod(ll a,ll b){
 9     a%=MOD;b%=MOD;
10     ll ans=1;
11     for(;b;b>>=1,a=(a*a)%MOD)
12         if(1&b) ans=(ans*a)%MOD;
13     return ans;
14 }
15 ll C(ll n,ll k){
16     ll s1=1,s2=1;
17     if(k>n-k) k=n-k;
18     for(int i=1;i<=k;i++){
19         s1=s1*(n-i+1)%MOD;
20         s2=s2*i%MOD;
21     } 
22     return s1*powMod(s2,MOD-2)%MOD;        //in
23 }
24 int main(){
25     scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&n,&m);
26     printf("%lld",C(m+n,m)*powMod(a,n)*powMod(b,m)%MOD);
27 
28 }

看到形如(x + y)ⁿ的形式的题，马上想到杨辉三角。由杨辉三角，可以很轻易地得到xⁿy^m前面的常数。

同时，我们也可以知道a，b的指数是和x，y是一样的，又因为k很大，不难想到快速幂的算法至于快速幂。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 long long s[1010][1010];
 6 int a,b,k,n,m;
 7 long long ans;
 8 long long fast_pow(int x,int y,int mod) {//快速幂
 9     long long base=x,t=1;//注意!!10006*10006可能会爆int
10     for (;y;base=base*base%mod,y>>=1)
11         if (y&1) t=t*base%mod;
12     return t;
13 }
14 int main() {
15     scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
16     s[1][1]=1;//计算杨辉三角
17     for (int i = 2;i <= k+1;i++) {
18         for (int j = 1;j <= i;j++) {
19             s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%10007;
20         }
21     }
22     ans=(s[k+1][k-n+1]*fast_pow(a,n,10007)*fast_pow(b,m,10007))%10007;
23     printf("%lld",ans);
24     return 0;
25 }