原文链接
https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p1641
题目链接
https://www.luogu.org/problem/P1641
题目描述
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
输入格式
输入数据是一行,包括2个数字n和m
输出格式
输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数
输入输出样例
输入 #1
2 2
输出 #1
2
说明/提示
limitation
每点2秒
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000
来源:SCOI 2010
题解
可以考虑把11的个数与00的个数的和看成xx坐标,11的个数与00的个数的差看成yy坐标,那么如下图:
向右上走(xx坐标加11,yy坐标加11)就表示这个字符选择11。
向右下走(xx坐标加11,yy坐标减11)就表示这个字符选择00。
这样子,如果不考虑限制条件,就表示从(0,0)(0,0)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m),这相当于从n+mn+m步中选出mm步向右下走,也就是C(n+m,m)C(n+m,m)。
考虑限制条件,任意前缀中11的个数不少于00的个数,也就是这条路径不能经过直线y=-1y=−1。可以通过对称性发现,从(0,0)(0,0)走到直线y=-1y=−1上的一点,相当于从(0,-2)(0,−2)走到该点。也就是说,路径经过直线y=-1y=−1的方案数就是从(0,-2)(0,−2)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m),这个方案数可以用组合数表示为C(n+m,m-1)C(n+m,m−1)。
所以最后结果为C(n+m,m)-C(n+m,m-1)C(n+m,m)−C(n+m,m−1)。对于组合数,可以预处理阶乘后用乘法逆元计算。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=20100403;
ll ni[maxn*2],n,m;
void init(){
ll i;
memset(ni,0,sizeof(ni));
ni[1]=1;
for(i=2;i<n+m+1;i++)ni[i]=-ni[mod%i]*(mod/i)%mod+mod;
}
int main(){
ll i,a1,a2;
cin>>n>>m;
init();
a1=1;
for(i=1;i<=n+m;i++){
a1*=i;
a1%=mod;
}
for(i=1;i<=n;i++){
a1*=ni[i];
a1%=mod;
}
for(i=1;i<=m;i++){
a1*=ni[i];
a1%=mod;
}
a2=a1;
a2=((a2*ni[n+1])%mod*m)%mod;
cout<<(a1-a2+mod)%mod;
return 0;
}