[SCOI2010]生成字符串

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式：

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

输入输出样例

输入样例#1：

2 2

输出样例#1：

2

说明

limitation

每点2秒

对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

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题解

一眼组合数

然后想到像catalan数那样把\(0/1\)转化到坐标系中

然后就越走越偏==

正解是类似Catalan数的推导公式的东西

选1就是\((x,y) -> (x+1,y+1)\)

选0就是\((x,y) -> (x+1,y-1)\)

所以构成\(0/1\)字符串的方案数就是\(C(n+m,m)\)

然后有一个条件就是任何时候1的数量都不小于0的数量

所以答案就是从\((0,0)\)出发不碰到\(y=-1\)的路径

考虑怎么去掉碰到\(y=-1\)的路径

我们可以把从\((0,0)\)碰到\(y=-1\)的直线对称下来

就是从\((0,-2)\)走\(n+m\)步走到\((n,n-m)\)的方案数

所以答案就是走\(n+m+1\)步1,走\(m-1\)步0

#include<cstdio>
#include<iostream>
# define int long long
const int M = 2000005 ;
const int mod = 20100403 ;
using namespace std ;
int n , m ;
int Fac[M] , Ans ;

inline int Fpw(int Base , int k) {
    int temp = 1 ;
    while(k) {
        if(k & 1) temp = (temp * Base) % mod ;
        Base = (Base * Base) % mod ; k >>= 1 ;
    }
    return temp ;
}
inline int C(int n , int m) 
{ return (Fac[n] * Fpw((Fac[m] * Fac[n - m]) % mod , mod - 2)) % mod ; }
# undef int
int main() {
# define int long long
    cin >> n >> m ;
    Fac[0] = 1 ; for(int i = 1 ; i <= n + m ; i ++) Fac[i] = (Fac[i - 1] * i) % mod ;
    cout << (C(n + m , m) - C(n + m , m - 1) + mod) % mod << endl ;
    return 0 ;
}