洛谷P4770 [NOI2018]你的名字

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题解

不愧是 $NOI$题，这题折腾了我一下午+一晚上，我心服口服

先不管 $[L,R]$的问题，我们先来看每次都查询整个串的情况

用 $S$建成后缀自动机，那么整体思路是利用后缀自动机求出 $T$的每个位置的最长匹配后缀，如果这个能搞出来的话，接下里的操作就是扫描 $T$的后缀自动机上的每个节点， $dp$求出当前节点所对应所有 $endpos$的最长匹配长度，进而算出这个节点上的串对答案的贡献。

好，现在解决怎么求出 $T$的每个位置的最长匹配后缀。

就不详述我的自闭过程了，直接说正确做法：维护 $two pointers$，不停的减小匹配长度，并维护当前在 $S$后缀自动机上的位置，直到匹配成功，这个时候就得到了最长匹配长度。代码如下：

while(l>=0 and !sam[p][s[i]-'a'])
{
    l--;
    if(l==sam.len[sam.fa[p]])p=sam.fa[p];
}
if(l<0)l=0;
else l++, p=sam[p][s[i]-'a'];

代码中 $l$就是匹配长度， $p$是当前在 $S$自动机上的位置

好，现在考虑如何每次只在 $[L,R]$上查询

首先我们需要在 $parent$树上通过类似 $dp$的方式合并权值线段树，这样就可以得到每个点上都有哪些 $endpos$

然后就是拿 $T$在 $S$的后缀自动机上跑的时候，只能使用 $[L+l,r]$中的后缀来拓展，其中 $L,R$是输入的查询范围， $l$是当前匹配长度。

这个东西的理解其实不难， $parent$本身就类似于机器学习中的决策树，每次把一个集合切分成好几个集合，所以对于合法的 $endpos$，肯定都存在一条到根节点的路径，这条路径上的所有点的权值线段树中都有这个 $endpos$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 500010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(_,__) for(_=1;_<=(__);_++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
struct joinable_segment_tree
{
    int sum[maxn*21*2], ch[maxn*21*2][2], tot;
    void clear(){tot=0;}
    int New(int v=0)
    {
        tot++;
        sum[tot]=v;
        ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;
        return tot;
    }
    int create(int l, int r, int pos, int v)  //创建一条链
    {
        int ret=New(v), o=ret;
        while(l<r)
        {
            int mid(l+r>>1);
            if(pos<=mid)o=ch[o][0]=New(v), r=mid;
            else o=ch[o][1]=New(v), l=mid+1;
        }
        return ret;
    }
    int join(int u, int v)
    {
        if(!u or !v)return u|v;
        auto t=New(sum[u]+sum[v]);
        ch[t][0]=join(ch[u][0],ch[v][0]);
        ch[t][1]=join(ch[u][1],ch[v][1]);
        return t;
    }
    int qsum(int o, int l, int r, int _l, int _r)
    {
        if(!o)return 0;
        int mid(_l+_r>>1), ans(0);
        if(l<=_l and r>=_r)return sum[o];
        if(l<=mid)ans+=qsum(ch[o][0],l,r,_l,mid);
        if(r>mid)ans+=qsum(ch[o][1],l,r,mid+1,_r);
        return ans;
    }
}mori;
struct SAM
{
    int tot, las, ch[maxn<<1][26], fa[maxn<<1], len[maxn<<1], pref[maxn<<1];
    int* operator[](int u){return ch[u];}
    void init()
    {
        int i;
        rep(i,tot)cl(ch[i]),fa[i]=len[i]=pref[i]=0;
        tot=las=1;
    }
    void append(int c, int tag=1)
    {
        int p(las);
        len[las=++tot]=len[p]+1;
        pref[las]=tag;
        for(;p and !ch[p][c];p=fa[p])ch[p][c]=las;
        if(!p)fa[las]=1;
        else
        {
            int q=ch[p][c];
            if(len[q]==len[p]+1)fa[las]=q;
            else
            {
                int qq=++tot;
                memcpy(ch[qq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                fa[qq]=fa[q];
                len[qq]=len[p]+1;
                fa[q]=fa[las]=qq;
                for(;ch[p][c]==q;p=fa[p])ch[p][c]=qq;
            }
        }
    }
}sam, sam2;
char s[maxn];
int f[maxn<<1], deg[maxn<<1], rt[maxn<<1], las[maxn];
void dp1()
{
    int i;
    queue<int> q;
    rep(i,sam.tot)if(deg[i]==0)q.em(i);
    while(!q.empty())
    {
        auto u=q.front(); q.pop();
        if(sam.pref[u])rt[u]=mori.join(rt[u],mori.create(1,5e5,sam.pref[u],+1));
        auto f=sam.fa[u];
        rt[f]=mori.join(rt[f],rt[u]);
        if(--deg[f]==0)q.em(f);
    }
}
void dp2()
{
    int i;
    queue<int> q;
    rep(i,sam2.tot)if(deg[i]==0)q.em(i);
    while(!q.empty())
    {
        auto u=q.front(); q.pop();
        auto fa=sam2.fa[u];
        f[fa]=max(f[fa],f[u]);
        if(--deg[fa]==0)q.em(fa);
    }
}
int main()
{
    int n, i, len, l, p, L, R;
    ll ans;
    scanf("%s",s+1); len=strlen(s+1);
    sam.init();
    rep(i,len)sam.append(s[i]-'a',i);
    rep(i,sam.tot)deg[sam.fa[i]]++;
    dp1();
    n=read();
    while(n--)
    {
        scanf("%s",s+1); len=strlen(s+1);
        L=read(), R=read();
        sam2.init();
        rep(i,len)sam2.append(s[i]-'a',i), las[i]=sam2.las;
        rep(i,sam2.tot)f[i]=0, deg[i]=0;
        l=0, p=1;
        rep(i,len)
        {
            l=min(R-L,l);
            while(l>=0 and ( !sam[p][s[i]-'a'] or mori.qsum(rt[sam[p][s[i]-'a']],L+l,R,1,5e5)==0 ) )
            {
                l--;
                if(l==sam.len[sam.fa[p]])p=sam.fa[p];
            }
            if(l<0)l=0;
            else l++, p=sam[p][s[i]-'a'];
            f[las[i]]=l;
        }
        rep(i,sam2.tot)deg[sam2.fa[i]]++;
        dp2();
        ans=0;
        rep(i,sam2.tot)if(f[i]<sam2.len[i])ans+=sam2.len[i]-max(f[i],sam2.len[sam2.fa[i]]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}