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3.如何利用Instantiation在knowlegebase中做proposotionalization（命题化）事情
1.写在前面
我们了解了一阶谓词逻辑的基本概念，接下来我们看一下，在一阶谓词逻辑中如何做inference，我们先介绍两个概念，UI和EI，这两个都是instantiation，就是把一个变数，替换成一个常数的技巧。一个是针对Universal quantify，另一个是针对existence quantity。
2.instantiation中UI 和EI的概念
假设a是某个句子，前面有全称量词for all。我们就可以用一个常数constant g替换掉全称量词v。因为是针对所有的，那么我们换成任意一个肯定都是可以的。下面右侧的例子，我们可以做同样的事情，把v替换成k，差别就是K不可以在KB之中。我们待会儿会讲这个是为什么？
下面例子，第一个：任何贪婪的国王是邪恶的，我们x可以替换成任何的东西，因为他针对的是任意的。第二个例子讲了存在一个人，但是我们不能随便替换，因为人是不同的，所以我们用一个常数C1替换，并且这个C1常数不能是kB中的已知任何东西。不然就是知道是谁了，之后我们可能会知道C1是小明或者小红。skolem constant这个词指的是用过了C1，下次替换存在量词的时候也不可以使用C1这个常量了，即使KB中没有。
UI中，可以替换任意次数，是等价的，但是在EI中只能apply一次，因为EI是至少一次，但是我们也不知道是一次还是多次，所以当apply超过一次的时候，也是比较危险的。我们在替换一次之后，一般就把exitence拿掉，免得系统会继续给我们做替换。而且在EI中KB的概念和之前也不太一样，我们在替换一次之后，就相当于把替换词放到了KB中（并不在），后面会推演出真正的constant。这种我们称为inferentially equivalent推理上等价，并不是logical equivalent逻辑上等价。
3.如何利用Instantiation在knowlegebase中做proposotionalization（命题化）事情
我们假设KB已知，我们知道所有贪婪的国王都是evil邪恶的，首先因为我们知道这里面的世界只有John跟Richard，这两个constant，所以我们有一种方法就是把上面这种变数x，用UI把它可能的全部替换掉。那我们现在全部换掉。你就把所有的，这一句话换John，再带入Richard换一次，剩下的都不用动，所以我们现在得到一个比之前大一点的KB，这KB已经完全就没有quantifier了，也没有唯一的一个那个universal。所以被我们称为propositionalized命题化。就是原本的first order logic的KB ，我们把它换成了一个propositional logic的KB。
一旦换成这KB以后那当然接下来就很简单，就是follow我们上一讲所讲到的inference的方法，你可以用resolution，那如果整个符合horn clause的话，你可以把它利用forward chaining或backward chaining的方式来做。
我们刚才有讲过你用UI的话，新的KB是一个logic equivalent的KB，那如果你EI 换掉的话，它虽然不是logic equivalent，但是在inference上是equivalent的，所以我们称为inferential equivalent。也就是说原来如果某一个sentence被原来的KB entail的话，那就等价于它会被新的KB entail。这两件事情是equivalent，所以我们原来first-order logic所要证的东西，我们用现在propositionalized之后所要证的东西是一样的，如果原来的KB不能证，那propositionalize之后当然也不能证，但是因为原来就不能证，所以就没有差别。
好消息就是你能证的东西，if and only if原来的能证明，接下来是坏消息，就是我们刚才替换成一个很简单，因为我们全是解释整个世界就只有John跟Richard两个同学，你换两次就搞定了。但是有些时候当你有function的时候呢，你可能没办法换完，因为你没办法把所有的all possible way换完。譬如说我们眼下有个function father()，叫father，那father这个function当然就是return，就是你input一个object，它output一个object，因为你有function，你的ground term有无穷多个，你的ground term目前已经知道john，但是你因为有function，所以你的世界知道John的father，并且可以重复得到，这样的世界包含了john、john的father和爸爸的爸爸等。一直下去。你这样的话你无穷一直做下去，我们没有办法把所有的all possible way搞定。
接下来的好消息就是1930年的时候已经被证明了，如果一个sentence被原来的first-order logic KB entail的话，那基本上它被 entail by finite subset，也就是说虽然propositionalized这个first-order logic的KB有无穷多种，你propositionalized以后会无穷大,就是你可以替换下去。但是你不需要知道整个无穷大，你只要在finite的一个有限的子集合的里面就可以得到propositionalized KB有能力去entail这个sentence。就是这两个KB不一样，finite的subset的propositionalized KB跟原来的first-order KB不一样，原来的first-order logic KB比较强，比较大一点。但是，你只要把它展开到一个地步，你就可以证明你想要证明的事情。
基本这样的东西很简单，我们可以做类似Iterate deepening的事情，我们先展一层嘛，第一次替换我就把John替换进去，然后看看这个能不能证出我想证的，不行的话你就把father of john替换进去，如果还不行，就替换两次，John的爸爸的爸爸，那再不行再替换三次。就这样一直做下去，那d从0一直到无穷大。
也就是说只要你要证的东西是被原来的FOL KB entail的话，那我这个回圈下去，迟早到某一个值，譬如说可能100万，200万，但是我迟早会说我给你的alpha是正确的，这是1930年证明出来的东西。
那来再讲坏消息，坏消息是就是如果原句是被原来的FOL KB entail，那如果没有呢，就是你要证明的东西是原来的FOL的KB不能证出来的，那这个回圈就会一直重复下去。从0一直到无穷大，过100万，过1000万，还是证不出来就一直展下去，那展到无穷大都证不完。虽然这算是个坏消息，但其实Turing和Church基本上是证明了，证明出来FOL的entailment这个problem本身是semidecidable（半决定），如果修过计算理论complexity，serie之类的课程的同学大家知道semidecidable的意思。也就说这个问题如果是个yes no question，如果这个问题是yes的话，我可以在finite有限的时间，跟你回答yes，但是你如果本来答案是no的话我没办法决定它是no，我没办法肯定它是no。这个是semidecidable。也就是说这个我们刚刚讲虽然看似是个坏消息，但是实际上，任何一个方法都没办法做到。不管你是否用propositionalize，FOL entailment本身它就semidecidable。所以你不管换任何方法都没办法。
这一页意思就是说我们刚刚把一个FOL的KB去做propositionalize，中间翻来翻去讲了几次，但是原则上就是说，它可以做到一定的地步，你如果用这种方法，从0一直往下冲，可以做到一定的地步，原来sentence如果是可以被证出来，你迟早会在有限时间内证出来。如果你原来sentence是无法被证出来的话，这个会跑个回圈，但是任何一个方法都一样。
从效率上看，一个sentence，我们需要将每一个未知的位置(K个)，放上我们的变量（N个），整体就会有n^k个指派。然后你有P个sentence，所以是n乘上p的k次方。如果K稍微大一点的话这样的演算法基本上我们很难实现，有时候在讲计算理论的时候，会讲polynomial多项式的算是比较易处理，但是现实世界，一般演算法如果在n3方或n4方以上的算法，我们会认为是很没效率的。也就是说，propositionalize虽然可以做到我们想做到的事，但是它没效率。
