四、命题逻辑的语义和语法

4.1 语法syntax

概念部分：

4.2 语义semantics：

五、inference 逻辑推理中的entailment蕴含

5.1 逻辑等价：logical equivalence

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六、定义逻辑上常用的术语

七、entailment 的等价命题，并且证明过程。

证明：KB |= a,当且仅当 KB -> a (implication) 为valid（永真）

一、写在前面

这个课程已经讲了很多东西了，之前有一个老师，讲了搜索，讲了机器学习，讲了深度学习，讲了对抗学习，讲了CV和常见序列模型，每一节课都挖了一个大坑，需要我慢慢的填补。我太南了。现在是一个计算所老师讲解知识表示，知识推理这部分内容，老师课件设置合理，每节课都可以学到具体的知识点，而非大而空的概念（特别感谢老师！！）。因此，打算在更新了搜索之后，更新知识这个模块。

参考资料：

用的教材是《人工智能》，台湾大学于天立公开课

这门课涉及到数理逻辑，参考《数理逻辑》陆钟万，也有参考视频

二、基本概念：

知识推理和表示，需要把知识表示为一个知识库的形式。这个知识库是一个集合，在这个集合中有很多sentence，每一个sen都符合一个形式上的语言，我们有了这个知识库之后，我们希望可以向这个知识库提问问题。

怎么提问问题？我们采用declarative 声明的形式提问题，问了之后，知识库有一个自动的引擎，你可能并不知道这个引擎内部实现，但是知识库可以利用这个引擎可以回答我们的问题。这个引擎是一个通用的引擎，不用关心怎么实现，编程的时候，你就告诉他，构建知识库，同时可以在这个知识库上提问，答案可以自动出来。

举个例子：定理的自动证明，首先在knowledge base中放入基本的定理，公理。另外inference engine可以自动生成其他的性质。或者我们给一个新的新的性质，可以判断是否真假。

老师上课讲的是一种形式上的逻辑，我们用头脑中的逻辑研究形式上的逻辑，这个是一种嵌套关系。形式逻辑是一种形式语言，我们定义一套语言，肯定会定义一套语法，规定什么样的语言是合法的。另外我们还关注sen的语义，看哪个sen是真，哪个是假。

KB是用形式化语言定义的一个sentence集合，formal language就是一种形式化语言（正规语言），逻辑（logic）就是其中一种formal language。我们使用的C语言，python等都是formal language的一些变形。

在正规语言中，有相对应的程式设计语法，我们称为declarative approach，当你解决问题的时候，思考并不是直接解决，而是使用正规语言描述这个问题，这个语言本身内部会有一些方法，比如resolution归结原理，我们只要有办法将我们现实生活中的问题用这个正规语言描述，整个程式语言就可以解决问题。所以如何使用形式化语言描述一个问题，才是我们重点解决的部分。

我们要定义一个language，我们首先要定义它的语法（Syntax，定义了这个语言中sentence的结构）和语义（Semantics，定义了sentence的语义和所有可能的世界possible world【也就是真值指派truth assignment】，一般定义真假，比如x+y=4，当x=1，y=3的时候为真）。我们在定义possible world之前可以首先定义一个model，在上面那个例子中sentence a为x+y=4，m为一个可以使得sentence a为真的model【x=1，y=3】，M（a）是所有m的集合。有m使得a为true，我们可以说m satisfies a；m是a的一个model，M是a的所有model的集合。

这幅图是这节课的经典：

1.逻辑研究的内容是研究形式化定义的sentences之间的关系
2.知识库是sen的集合，每一个sen都符合形式逻辑规定的语法，老师每讲一个逻辑就会讲这个逻辑规定的语法，哪一些语言是合法的sen，哪一些不是，有了语言才能形式逻辑
3.老师会讲两种逻辑：命题逻辑+一阶谓词逻辑
4.每一个逻辑都有两个内容：从语义的角度能够蕴含一些新的知识库（新的知识，是正确的）。还会从语法的角度推演，自动推演出新的知识库（每一个sen都是一堆符号，通过形式上推演，推演出新的sen，这个和语义无关，是从符号上推演出的一种规则）
5.对上面总结：每一个逻辑含有两个内容：语义上蕴含+形式上推演
6.我们会证明两个性质：可靠性和完备性
7.语义上蕴含（逻辑推导）和形式上推演都会得到一个知识库，我们可以将其看做sen的集合
8.左侧是语义蕴含，右侧是形式上推演
9.如果左侧的集合是右侧的子集，我们说是完备的（没有少推一些东西）
10.如果右侧的集合是左侧的子集，我们说是可靠的（推出来是对的）
11.如果右侧的集合是左侧集合的子集，我们可以说这一套逻辑是可靠的，意思是，我形式上推演出来的sen在语义上是对的，我每推出一个东西他是对的，所以我们可以认为他是可靠的。
12.如果左侧的集合是右侧集合的子集，我们说这一套逻辑是完备的，意思是：任何能够从语义上面推出来的正确的东西，我都可以从形式上的方式推演得到，我们说这一套规则是完备的
13.通常来说，定义一套逻辑，我们都要定义它的语义和语法规则（形式的推演规则），这种形式推演规则不是乱定义的，我定义完了之后，我们要进行测试，是否完备和可靠。
14.接下来讲命题逻辑和一阶谓词逻辑，都会分别讲他的语义蕴含和语法推演

三、语义上的蕴含entailment（图左侧部分）

定义语义上的entailment蕴含：KB蕴含sentence a，在KB为真的世界上，a为真，我们称KB|=a。似乎和implication有点像？是不一样（

Entailment 是语义上的蕴含 KB entailment a ；Implication 是命题之间的运算子，使用真值表刻画其语义{右箭头-> 爆炸假假、假真、真真为真，真假为假 implication}）

KB：knowledge base 是我们上图中最上的部分。语义上蕴含（逻辑推导）可以表示为

举个蕴含的例子：

定理：如果有一个model使得KB为真，那么就会使a为真，如果这个公式成立，我们可以说KB蕴含a.(KB 是图中上面的知识库，a是左侧的sentence a)

在这个地方有一个定理theorem，我们需要证明这个东西：

如果a|=b，根据entailment定义a为真的世界b一定为真，所以M（a）为a为真的世界，b一定为真，说明M（b）一定要大于等于M（a），说明M（a）含于M（b）

完整证明：KB |= a ，iff（等价于） M（KB）含于 M（a）

举一个例子，我们要判断下面这句话为真或者假的，在左侧世界上，一共有7个model使得（a^b）|=r 为真（没有倒数第二种可能a^b为真，r为假），我们看一下右侧a|=r成立的一共有6种模型（真值表中画五角星的6个），b|=r同样也是6种。我们根据entailment定义，不满足左侧为真的模型使得右侧全部为真。所以这个句子是False。我们可以注意到右侧两个世界的联集是左侧的整个世界，如果用implement运算的话，这个句子为真。

四、命题逻辑的语义和语法

接下来，我们看一下命题逻辑（propositional logic），任何一个逻辑都有自己的语言，我们会看这个逻辑的syntax语法和semantics语义两个部分。命题逻辑中proposition表示一个宣告式的句子，必须为True或者False。比如P=NP，虽然没人证明，但是到底，它一定是真或者假，二者之一；所以它也是一个命题。不可能同时为true和false。

4.1 语法syntax

概念部分：

命题proposition：一个声明sen（太阳从东方升起），有可能是真有可能为假。这个声明与时间无关，不随着时间变化真假，如果该命题真假与时间有关，这不是我们考察的范围。随时间改变的sentence，我们称为fluent，比如今天是周一，这个随着时间变化的，是一个fluent，而不是一个proposition 。

原子命题：atomic propositions 不可拆分，原子命题用大写字母表示，每一个表示原子命题的大写字母都是一个合法的sentence。a是一个proposition命题，b也是一个proposition命题，那么a and b ，a or b也是一个proposition。

文字literals： 表示为原子命题或者原子命题的反（P or net P）

句子sentence：一个合乎语法的句子，比如我们定义sentence为non-terminal非终结的，定义True、false、P、W为terminal终结的，我们可以说一个符合语法的逻辑式子就是一个sentence，一般最开始展开的时候都是一个sentence。

除此之外，在命题逻辑中还定义了其他5个符号，这5个符号是在语言中被允许的符号，negation conjunction disjunction implication biconditional取一个名字，不要去想他的含义。这些都是定义的合法的language

复合命题：complexSentence 是由sentence和下面五个符号组合而成。

4.2 语义semantics：

每一个符号，我们都给了对应关系，我们规定了真值表。通过真值表可以推演其他复合命题，命题逻辑一般使用真值表定义语义semantics。

这个是真值表，要记住

1.红心类似取反（作用于一个原子命题） negation

2.（上箭头）笑脸两个假得假，两个真得真，一真一假得假 conjunction 合取

3.（下箭头）空心两个假得假，其他为真 disjunction 析取

4.（右箭头，=>或者->）爆炸假假、假真、真真为真，真假为假 implication

5.（双向箭头）云彩类似同或，相同为真，不同为假 biconditional

五、inference 逻辑推理中的entailment蕴含

inference是一个比较大的概念，语义上的蕴含entailment可以说是inference，同样语法上的推演deduction也可以说是inference，我们先看entailment这个地方，对应了图中左侧部分知识点。

我们给了一个KB知识库之后，这个KB中每一个sen都是命题逻辑中的sen，都是合法的sen，α 现在是另外一个合法的sen，证明KB是否entailment α 成立（蕴含），我们一般把KB中所有模型都列出来，并且带到a中，看是否为真（KB|=a ，M（KB）含于M（a）），这个方法就是inference推理的一个方法。但是这样做很没有效率，我们任意找到一个model，如果使得KB里面每一个sentence成立，那么这个model一定要使得α 为真。假设KB中原子命题P有N个，他的model一共有2^N ，每一个model试一下KB，试一下α，如果都是为真，就成立了，才可以说明KB|=a。

我们讲上面这个枚举的方法是非常没有效率的，通常不会这样子做，另外一个方法我们用一些逻辑上演绎，比如logical equivalences逻辑等价。

5.1 逻辑等价：logical equivalence

If a entailment b 且 b entailment a 则a，b逻辑等价，logically equivalent （三个横），逻辑等价一定互相entailment蕴含对方。

六、定义逻辑上常用的术语

我们讲一个sentence是valid，是说这个sentence对于所有的model，永真。比如True，A or neg A；不管A为true或者false，前面的true都是真。说一个sentence句子是satisfiable 是说存在模型使得sentence为真，比如 A^B,A ;(^表示合取，两个真才为真，在这里B为真，A真假都可以)，所以当A为真时候，sentence为真，当A为假时候，sentence为假，即存在A使得sentence为真，可以说这个句子是satisfiable。我们说一个句子sentence是unsatisfiable 是说不存在模型使得sentence为真。比如A ^ neg A；无论A怎么取值，前面的句子是永远不会为真的。

Satisfiability的意思是我们以后会用到的反证法（proof by contradiction）。比如KB |=a 的等价命题（反证）就是（KB ^ neg a）is unsatisfiable

KB |=a，iff（等价于）（KB ^ neg a）is unsatisfiable

我们要证明KB entailment a ，就是证明给任意一个模型的情况下，KB为真，a一定为真。我们可以利用反证法证明，我们先讲结论是错的，没有模型使得KB 合取非a 成立，这个我们后面会经常使用到。

K |= a是语义蕴含，K |- b是形式推演（下部分写），complete是说，左侧蕴含出来的知识都可以推演出来（语义蕴含的都可以推出来），sound是说右侧推演的知识都是被KB蕴含的（推出来的知识都是正确的）。当然了，哥德尔不完全定理已经证明了当一个大范围内，是不可能既sound又complete的，在这种情况下，我们一般会舍弃complete，留下sound（正确的东西）。