模拟赛 复活石 （狄利克雷卷积+快速幂 // 组合数学）

题解

法一：
卷积忘完了，考场上根本没想到。。
可以发现要求的就是 $f*I^k$，这里的 $*$是狄利克雷卷积。
然后狄利克雷卷积支持结合律。
所以快速幂就完事了。
时间复杂度 $O(n\log n\log k)$

法二：
考虑 $f(x)$对于 $g(i)$的贡献，一定是 $f(x)*y$的形式， $y$为一个与 $i/x$有关的系数。

令 $a_j=\frac{i_j-1}{i_j}(j\in[1,k]),i_0=i,i_k=x$。那么 $y$就是合法的 $a$序列数量， $a$实质就是 $x$乘上 $k$个数最后变成了 $i$。

容易发现就相当于把 $i/x$的质因子分在 $k$个盒子里。每个质因子独立可以分开算。假设当前质因子有 $m$个，方案就是 $C(m+k-1,k-1)$

可以通过dfs/线性筛求出 $y$。最后把 $f,y$卷积一下就算出了答案。

CODE

法一代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &x) {
	char ch; while(!isdigit(ch=getchar()));
	for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());x=x*10+ch-'0');
}
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 100005;
int n, k, f[MAXN], g[MAXN], tmp[MAXN];
void mul(int *a, int *b) {
	for(int i = 1; i <= n; ++i) tmp[i] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = i; j <= n; j += i)
			tmp[j] = (tmp[j] + 1ll * a[i] * b[j/i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = tmp[i];
}
int main () {
	int T; read(T);
	while(T--) {
		read(n), read(k);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) read(f[i]), g[i] = 1;
		while(k) {
			if(k&1) mul(f, g);
			mul(g, g); k>>=1;
		}
		for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d%c", f[i], " \n"[i==n]);
	}
}