背包问题
背包问题可以描述成：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高；
一.基础背包（01背包）
1.特点
这种背包问题的特点就是：每种物品限定只有一个，选择就只有两种，放（1）不放（0）；
2.思路
（1）对于每个物品就只有放与不放两种状态
假如第一件物品不放，考虑的问题就变成了背包总重量与第二件物品到第i件物品放不放的问题；
假如第一件物品放，那么背包的空间就会变成总背包重-第一件物品重，考虑的问题也就变成了剩下的背包重量与第二件物品到第i件的放与不放的问题；
所以这道题就能分解成第i件物品到底放不放的问题。
（2）影响放不放的因素就是值不值得放，也就是价格
因为要在一定的背包重量里面组合出最高的价格，所以单纯的价格/重量来决定值不值得放是不可取的；所以为了判断放不放，提出的解决方案就是–填表，填表来列举每一个选择产生的价值总量是多少；
例如有5个物品，背包重量是10，每个物品的重量和价格如下：
| 重量 | 价格 |
|---|---|
| 7 | 9 |
| 2 | 2 |
| 2 | 7 |
| 5 | 6 |
| 9 | 9 |
填表过程如下：
| 重量 | 价格 | 背包空间/0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 初始化 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 7 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 9 | 9 | 11 | 11 |
| 2 | 7 | 0 | 0 | 7 | 7 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 16 | 16 |
| 5 | 6 | 0 | 0 | 7 | 7 | 9 | 9 | 9 | 13 | 13 | 16 | 16 |
| 9 | 9 | 0 | 0 | 7 | 7 | 9 | 9 | 9 | 13 | 13 | 16 | 16 |
而至于为什么这么填表：
1.第一个物品（7,9），因为他的物品重量是7，所以在背包空间0-6的时候都没办法放下，在7的时候，因为这个时候背包里面的价格比第一个物品小，所以放第一个物品，这个时候背包的最大价值为9；
2.第二个物品（2,2），因为重量是2，所以在背包空间达到2的时候就可以放进去，这个时候背包里面的价格为0,2>0,值得放。
当背包空间达到7的时候，背包里面的价格在上一次筛选已经变成了9,9>2,所以背包空间达到7的时候我们选择放第一个物品进去，第二个物品不放；
当背包空间达到9的时候，背包可以都容下第一个物品和第二个物品，9+2=11,目前背包里面的价格最大就是11；
3.剩下的依次类推
最终最后一个数就会达到所求最大。
（3）填表里面最重要的也就是所谓的转移代码:
dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]}
//转移方程
在第i次做选择时，判断放与不放谁的价格更大，取最大的来做决定。
3.整体代码
1.待优化：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 100
int max(int a,int b)
{
return a>=b?a:b;
}
//比较大小
int main()
{
int w[N],v[N];
int n,h;
int dp[N][N];
memset(dp,0,sizeof(dp));
//dp数组赋值为0；
scanf("%d %d",&n,&h);
//输入n个物品,背包重量为h
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
}
//输入第i个物品重量w[i]，价格v[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
//转移方程
/*for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=h;j++)
printf("%d ",dp[i][j]);
printf("\n");
}*/
//这里是可以输出上面那个填表，验证猜想;
printf("%d",dp[n][h]);
//最大，即二维数组最后一位
return 0;
}
2.可以压缩空间，转移方程从二维数组简写成一维数组：
压缩空间的原理是：只记录第i-1件物品放入时的背包状态，当第i件物品放入的时候调用和覆盖，形成新的数据，所以就只需要一维数组来表示；
dp[j]=max{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]}
完整转移方程如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=h;j>=0;j--)
{
if(j>w[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
二.完全背包
1.特点
在基础背包的基础上，每件物品从只有一个变成了无限件。这个时候每件物品考虑从放与不放变成了不放和放几个的问题。
2.思路
（1）完全背包和基础背包特别相似，所以解题思路也可以从中体会，引用搜狗百科上面的一句话：
最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c 件，于是可以把第i种物品转化为V/c件体积及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。
这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。
（2）将一种物品拆成多件物品，只需要在01背包的代码基础上稍加修改即可，填表的原理还是一样的；
代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
//01背包的转移方程修改
但是这种情况下是三重for循环，时间复杂度太高了，所以，就提出了简化方案；
（3）调整max函数里的比较对象
因为01背包里面的转移代码都是和第i-1个物品进行比较，所以在完全背包里面，我们可以把这个比较对象换成第i-1个物品在当前背包空间的价格和当前这个第i个物品上一次选择的价格进行比较；
代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
if(j<w[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
（4）同01背包一样，完全背包也可以压缩空间，简化代码；
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
if(j>=w[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
3.整体代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 100
int max(int a,int b)
{
return a>=b?a:b;
}
int main()
{
int w[N],v[N];
int n,h;
int dp[N];
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d %d",&n,&h);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
if(j>=w[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
/*for(int j=0;j<=h;j++)
printf("%d ",dp[j]);
printf("\n");*/
printf("%d",dp[h]);
//一维数组最后一个，即为背包最大价格
return 0;
}
三.多重背包
1.特点
每一件物品不是只有一件或者无限件，而是只有有限个数目的背包问题；
2.思路
（1）想法是在完全背包的基础上稍加修改，把无限个换成有限个就可以了；
代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=h;j++)
for(int k=0;k<=m[i]&&k*w[i]<=j;k++)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
//m数组就是每个物品有多少个;
（2）改进方法
方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,…,2(k-1），n-2k+1，且k是满足n-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为n，表明不可能取多于n件的第i种物品。
即就是把单件物品二进制分解成不同件物品，在进行背包问题。
多重背包有以下两种情况
1.如果数量x物品重量>=背包重量
2.如果数量x物品重量<背包重量
只有当情况二的时候才当做多重背包来做，进行二进制分解；
当情况一的时候，可以当完全背包来使用。
四.总结
背包问题实际上都差不多，都是在01背包的基础上发展的，三种背包的大体形式都差不多，只需要在转移方程的时候做些改变就好了。这是小杨这两天的背包总结，到处百度，然后又把学校里面学的拿出来总结，终于完成咯。
这是搜狗百科对于背包问题的词条：背包问题
