前言
写这道题写了好久..当然都是在调..
最后发现线段树把
build(1,n,1)写成build(1,1,n)..然后..然后就想写个学习笔记吧。
当然还有一部分原因是我博客好久没更新了
线段树
所以不会线段树的这里走。
关于我的线段树：
build(int l,int r,int k) 建树，到[l,r]，下标k void pushdown(int l,int r,int k) 懒标记下传 int query(int l,int r,int x,int y,int k) 查询[x,y]的和，递归到[l,r]，下标为k void add(int l,int r,int x,int y,int z,int k) 把[x,y]中每个数加上z，递归到[l,r]，下标k
求什么
顾名思义，把树当成链
进行一些非人类操作，比如查询和修改。然后在序列中，快速区间加和区间查询，这就要用到线段树。
例如在洛谷模板3384中，要支持4种操作：
1.将树从\(x\)到\(y\)结点最短路径上所有节点的值都加上\(z\)
2.求树从\(x\)到\(y\)结点最短路径上所有节点的值之和
3.将以\(x\)为根节点的子树内所有节点值都加上\(z\)
4.求以\(x\)为根节点的子树内所有节点值之和
概念
重(zhòng)儿子：对于除了叶节点以外的点，在它的儿子中 子节点数最多的就是它的重儿子。
例如：(重儿子用\(son[]\)表示)
重边：把两个重儿子连起来的边。对于剩下的边，称为轻边。
重链 ：许多重边连在一起，形成的链叫做重链。
例如：
实现
所以，我们可以跑一个dfs，求出每个非叶子节点的重儿子。
int dfs1(int x,int pre,int dep) { deep[x]=dep; fa[x]=pre; tot[x]=1; //以x为根节点的子树的大小 int maxson=-1; for(int i=f[x];i;i=e[i].nx) { if(e[i].v==pre)continue; tot[x]+=dfs1(e[i].v,x,dep+1); //更新重儿子↓ if(tot[e[i].v]>maxson){maxson=tot[e[i].v];son[x]=e[i].v;} } return tot[x]; }接下来，我们要把点放在一个序列里。
然后就是dfs序，也是跑一个dfs。
但是，为了分别使重链上每个点在dfs序上连续出现，在dfs时加上几条语句：
用\(top[x]\)记住x所在的重链的头部，若不在重链（轻边），记为自己。
每次先跑重儿子
实现也很短：
void dfs2(int x,int tops) { idx[x]=++cnt; //记录x在序列中的位置 top[x]=tops; a[cnt]=pw[x]; //pw[]为初始每个点的权值 cnt[]就是dfs序 if(!son[x])return; dfs2(son[x],tops); //先跑重儿子 for(int i=f[x];i;i=e[i].nx) //其他轻边 { if(idx[e[i].v])continue; dfs2(e[i].v,e[i].v); } }接下来，就要处理\(4\)种操作了。先看后面\(2\)种。
3.将以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值都加上 \(z\)
4.求以 \(x\) 为根节点的子树内所有节点值之和
很明显，任意一个节点x一定和它所有子节点在dfs序里连续出现。那么这两个操作可以直接用线段树处理。
那么前\(2\)个操作呢？
1.将树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值都加上 \(z\)
2.求树从 \(x\) 到 \(y\) 结点最短路径上所有节点的值之和
从\(x\)到\(y\)的最短路径只有一条，那么在在这条路径中，要在dfs序上加多少个区间？
按照之前的定义，重链上的点一定连续出现在dfs序上，所以，我们可以把 \(x\) , \(y\) 往上跳，即 \(x=top[x],y=top[y]\) , 直到 \(top[x]==top[y]\) 的时候停下来。
然后每次跳的时候，相应处理序列的值。
要注意的是，每次跳时，应选择重链的头更深的跳。
画图举例：
结束√
实现：
void treeadd(int x,int y,int val)//操作3 { while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y); add(1,n,idx[top[x]],idx[x],val,1); x=fa[top[x]]; } if(deep[x]>deep[y])swap(x,y); add(1,n,idx[x],idx[y],val,1); }int treesum(int x,int y)//操作4 { int ans=0; while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y); ans=(ans+query(1,n,idx[top[x]],idx[x],1))%Mod; x=fa[top[x]]; } if(deep[x]>deep[y])swap(x,y); ans=(ans+query(1,n,idx[x],idx[y],1))%Mod; return ans; }
时间复杂度
有\(2\)个性质:
若边 \((x,fa)\) 为轻边，则 \(size(x) \le \frac{size(u)}{2}\)
树中任意 \(2\) 个节点之间的路径中，轻边不超过 \(log_2 n\)，重链不超过 \(log_2 n\)
在算上线段树复杂度 \(O(log^2 n)\)
- 完整代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int Maxn=1e5+5;
struct edge{
int v,nx;
}e[Maxn<<1];
struct tree{
int sum,lazy;
}t[Maxn<<2];
int n,m,ne,root,Mod,f[Maxn],pw[Maxn];
int deep[Maxn],fa[Maxn],son[Maxn],tot[Maxn];//dfs1
int cnt,top[Maxn],idx[Maxn],a[Maxn];//dfs2
void addedge(int u,int v)
{
e[++ne].v=v;
e[ne].nx=f[u];
f[u]=ne;
}
int dfs1(int x,int pre,int dep)
{
deep[x]=dep;
fa[x]=pre;
tot[x]=1;
int maxson=-1;
for(int i=f[x];i;i=e[i].nx)
{
if(e[i].v==pre)continue;
tot[x]+=dfs1(e[i].v,x,dep+1);
if(tot[e[i].v]>maxson){maxson=tot[e[i].v];son[x]=e[i].v;}
}
return tot[x];
}
void dfs2(int x,int tops)
{
idx[x]=++cnt;
top[x]=tops;
a[cnt]=pw[x];
if(!son[x])return;
dfs2(son[x],tops);
for(int i=f[x];i;i=e[i].nx)
{
if(idx[e[i].v])continue;
dfs2(e[i].v,e[i].v);
}
}
void build(int l,int r,int k)
{
if(l==r)
{ t[k].sum=a[l];t[k].lazy=0;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,k<<1);
build(mid+1,r,k<<1|1);
t[k].sum=(t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum)%Mod;
t[k].lazy=0;
}
void pushdown(int l,int r,int k)
{
int mid=(l+r)>>1;
int x=t[k].lazy;
t[k<<1].sum=(t[k<<1].sum+(mid-l+1)*x)%Mod;
t[k<<1|1].sum=(t[k<<1|1].sum+(r-mid)*x)%Mod;
t[k<<1].lazy=(t[k<<1].lazy+x)%Mod;
t[k<<1|1].lazy=(t[k<<1|1].lazy+x)%Mod;
t[k].lazy=0;
}
int query(int l,int r,int x,int y,int k)
{
if(x<=l&&r<=y)return t[k].sum;
pushdown(l,r,k);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid)return query(l,mid,x,y,k<<1);
if(x>mid)return query(mid+1,r,x,y,k<<1|1);
return (query(l,mid,x,y,k<<1)+query(mid+1,r,x,y,k<<1|1))%Mod;
}
void add(int l,int r,int x,int y,int z,int k)
{
if(x<=l&&r<=y)
{
t[k].sum=(t[k].sum+(r-l+1)*z)%Mod;
t[k].lazy=(t[k].lazy+z)%Mod;;
return;
}
pushdown(l,r,k);
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)add(l,mid,x,y,z,k<<1);
if(y>mid)add(mid+1,r,x,y,z,k<<1|1);
t[k].sum=(t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum)%Mod;
}
void treeadd(int x,int y,int val)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
add(1,n,idx[top[x]],idx[x],val,1);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
add(1,n,idx[x],idx[y],val,1);
}
int treesum(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
ans=(ans+query(1,n,idx[top[x]],idx[x],1))%Mod;
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
ans=(ans+query(1,n,idx[x],idx[y],1))%Mod;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&root,&Mod);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&pw[i]);
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
addedge(v,u);
}
dfs1(root,0,1);//找重儿子
dfs2(root,root);//求序列
build(1,n,1);//线段树
while(m--)
{
int opt,x,y,z;
scanf("%d",&opt);
if(opt==1)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
treeadd(x,y,z);
}
if(opt==2)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",treesum(x,y));
}
if(opt==3)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(1,n,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,y%Mod,1);
}
if(opt==4)
{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",query(1,n,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,1));
}
}
return 0;
}
\[\text{by Rainy7}\]