ZROI 普专提 背包

Description

有一个背包和 $n$ 个物品，要把某些物品彼此压着放在背包里 。

背包最大承重为 $S$。

已知第 $i$ 个物品放上去的时间 $in_i$，拿走的时间 $out_i$，重量 $w_i$，承重 $s_i$ ， 价值 $v_i$。
对于同一时刻，有多个物品进出的话，顺序任意。

如果将一个物品放入背包，必须满足以下要求 ：

• 在 $in$ 时间进，放在最上面。
• $out$ 时间出，出的时候他在最上面并且得到价值 $v$。
• 当他在背包内时，他上方的物品的重量必须时刻小于等于 $s_i$。

它也可以不放入背包 ，但得不到价值 $v$。

问你可以得到的最大价值。

$1 \leq n\le 500,S\le 1000,0\le in_i < out_i < 2n, w_i\le 1000,s_i\le 1000, v_i\le 10^6$。

Solution

根据贪心思想，以进入时间为第一关键字，取出时间为第二关键字。进入时间越早优先级越大，取出时间越晚优先级越大，然后就可以 dp。

令 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 个物品在顶上，第 $i$ 个物品上任何时候质量和都不超过 $j$ 的最大价值。对于承重的限制，可以规定 $j$ 的边界。考虑转移。 $i$ 从 $k$ 转移过来， $k$ 可以是在 $i$ 放之前取出，也可以是在 $i$ 取出后第一根取出。

时间复杂度 $O(n^3)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define F first
#define S second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int N = 1000 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
struct node{
	int l, r, w, s, v;
}a[N];
bool cmp(node a, node b){
	if (a.l != b.l) return a.l < b.l;
	return a.r > b.r;
} 
int f[N][N];
int main(){
	int n = read(), S = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i].l = read(), a[i].r = read(), a[i].w = read(), a[i].s = read(), a[i].v = read();
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	int ans = -INF; 
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		for (int j = 0; j <= min(a[i].s, S); j++){
			int pre = 0; f[i][j] = a[i].v;
			for (int k = 1; k < i; k++){
				if (a[i].r <= a[k].r) f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j + a[i].w] + a[i].v + pre);
				if (a[i].l >= a[k].r) pre += a[k].v;
			}
			ans = max(ans, f[i][j]);
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}