CSPS 2019 Day1 T2 括号树

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Solution

树形 dp。

合法括号串本质上有两个

1. 单独串，如 ()。单独串仅有一队括号构成，如 ()() 有两个单独串。
2. 嵌套串，如 (()())。嵌套串的定义大于单独串，如 (()()) 为一个嵌套串，且它的子串中没有单独串。

性质 1：单独串和嵌套串可以与其他的合法括号串匹配。

性质 2：如果 有(，那么等待之后的 )。如果 ) 前没有 ) 与它匹配，则没有包括它的合法括号串。

有了上述性质后，状态与转移方程也呼之欲出了。

$f_i$ 为从根节点到 $i$ 的路径上的合法括号子串数。

$lst_i$ 为在 $x$ 的上方，第一个等待匹配的 ( 的结点。

$cnt_i$ 为从 $i$ 到根节点的路径上，连续的单独串与嵌套串的个数。如 ()(()())() 依次为 ()、(()())、()。

状态转移见代码。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
char s[N];
ll fa[N], f[N], lst[N], cnt[N], n, ans; 
int main(){
	scanf("%lld%s", &n, s + 1);
	for (int i = 2; i <= n; i++) scanf("%lld", &fa[i]);
	for (int x = 1; x <= n; x++) {
		f[x] = f[fa[x]], lst[x] = lst[fa[x]];
		if (s[x] == '(') lst[x] = x;
		else if (lst[x]) cnt[x] = cnt[fa[lst[x]]] + 1, lst[x] = lst[fa[lst[x]]], f[x] = f[x] + cnt[x];
		ans ^= x * f[x];
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}