一、 凸集
余维度:
若 W 是一向量空间 V 的一个线性子空间,则 W 在 V 的 余维数是商空间 V/W 的维数。在有限维空间下,coddim(W)=dim(V/W)=dim(V)-dim(W)
超平面:n维欧式空间中余维度为1的线性子空间
(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中,一条直线是一维的,它把平面分成了两块;三维空间中,一个平面是二维的,它把空间分成了两块。
(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
(3)
(4)超平面为x构成的平面,使用法向量a确定方向。这个平面任取两个点做加权平均依然在这个平面上。(aTx=b为线性方程,a是一个列向量)
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(5)半空间:只取超平面的一半。
凸集分离定律:
二、 凸函数
(一) 凸函数的一阶刻画
(x,z)为epi中的点的坐标,用这些坐标点表示一个空间范围
强凸:使用x2衡量凸的程度
图中的算子为梯度算子。梯度算子为导数在空间中的推广。
红圈部分表示任意(x,y)对应的切平面
(二) 凸函数的二阶刻画
黑塞矩阵
二阶导恒非负,构成的黑塞矩阵正定
极小即最小
(三) 保凸运算
这里fi表示凸函数
非负线性组合:wi是非负数
最小化:将高维函数投影到低维函数域
(四) 课后题:
√