【算法基础】-- 选择排序篇 - 堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，其优点是：在排序过程中，将 L [ 1…n ]
视为一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲节点和孩子节点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的元素。

两种堆：

大顶堆（大根堆），在大顶堆中，最大元素存放在根节点中，且对其任一非根节点，它的值小于等于其双亲结点的值，即 L [ i ] >= L [ 2i ] 且 L [ i ] >= L [ 2i+1 ]
小顶堆（小根堆），在小顶堆中，最小元素存放在根节点中，且对其任一非根节点，它的值大于等于其双亲结点的值，即 L [ i ] <= L [ 2i ] 且 L [ i ] <= L [ 2i+1 ]

初始建堆是从最后一个拥有叶子节点的分支节点开始向下调整堆的，即从 L [ n / 2 ] 开始，直到 L [ 1 ] 结束。

堆的存储结构：因为在访问孩子节点时需要用到随机访问，故采用顺序存储结构，至于为什么不用二叉链表来存储，因为堆的空间复杂度为 O ( 1 ) ，当给出待排序表的时候，不可能以二叉链表的形式来给出待排序队列，所以即使堆可以用二叉链表来存储，但是这就相当于空间复杂度为 O ( n ) ，这个二叉链表是独立于待排序表的。

注意：不能对堆采用层次遍历来得到排序结果，这是得不到的，最终结果还是得用到交换，逐个输出堆顶元素。

堆的插入和删除：

堆的删除和堆的输出是相同的道理，堆的输出相当于删除堆顶元素，两者只需要将待删除元素与最后一个元素 L [ len ] 进行交换，然后对 L [ 1…len-1 ] 进行向下调整即可（所谓向下调整，是指遍历时，是从 k 节点以 k *= 2 逐层向下遍历的）

堆的插入，是将待插入元素，插入到堆的最后一个元素，即作为 L [ len+1 ] 存在，然后向上调整堆（所谓向上调整，就是指遍历时，是从 k 节点以 L [ k/2 ] 逐层向上遍历的）
向上调整代码（大顶堆）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 9
typedef int ElemType;
void AdjustDown(ElemType A[],int k,int len){
    int i;
    A[0]=A[k];//A[0]起到暂存数据元素的作用
    for(i=2*k;i<=len;i*=2){//起到递归的作用，会将以i为根节点的子树全部都调整完
        if(i<len&&A[i]<A[i+1]) i++;
        if(A[0]>=A[i]) break;
        else {
            A[k]=A[i];
            k=i;
        }
    }
    A[k]=A[0];
}

void BuildMaxHeap(ElemType A[],int len){//构建大顶堆
    for(int i=len/2;i>0;i--){
        AdjustDown(A,i,len);
    }
}

void AdjustUp(ElemType A[],int k){//向上调整代码
    A[0]=A[k];
    int i=k/2;
    while(i>0&&A[i]<A[0]){
        A[k]=A[i];
        k=i;
        i=k/2;
    }
    A[k]=A[0];
}

int main(){
    ElemType A[]={-1,9,45,78,32,17,65,53,87};
    BuildMaxHeap(A,MAX_SIZE-2);//对1~len-1进行堆排
    for(int i=1;i<MAX_SIZE;i++){
        cout<<A[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
    AdjustUp(A,MAX_SIZE-1);//将len插入后进行向上调整
    for(int i=1;i<MAX_SIZE;i++){
        cout<<A[i]<<' ';
    }
    return 0;
}

算法实现（大顶堆）：建立大顶堆，并且向下调整堆，最后交换，实现原地排序，空间复杂度O(1)，下面算法中并未涉及向上调整，即堆的插入。

/*
    堆排序：
        时间复杂度->最好情况：O(nlogn)、平均情况：O(nlogn)、最坏情况：O(nlogn)
        空间复杂度->O(1)
        是否稳定->否
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 9
typedef int ElemType;
void AdjustDown(ElemType A[],int k,int len){
    int i;
    A[0]=A[k];//A[0]起到暂存数据元素的作用
    for(i=2*k;i<=len;i*=2){//起到递归的作用，会将以i为根节点的子树全部都调整完
        if(i<len&&A[i]<A[i+1]) i++;
        if(A[0]>=A[i]) break;
        else {
            A[k]=A[i];
            k=i;
        }
    }
    A[k]=A[0];
}

void BuildMaxHeap(ElemType A[],int len){//构建大顶堆
    for(int i=len/2;i>0;i--){
        AdjustDown(A,i,len);
    }
}

void HeapSort(ElemType A[],int len){
    int i;
    BuildMaxHeap(A,len);
    for(i=len;i>1;i--){
        swap(A[i],A[1]);
        AdjustDown(A,1,i-1);
    }//这就是堆排，将待排序表建堆，然后逐个输出，所谓输出也只是，交换，因为最终目的是原地排序，输出还是在原表，只不过有序
    //这时，交换，这种输出方式，结合建堆的概念，即完全二叉树编号这个概念，即可在堆排后，待排序表为有序表
}

int main(){
    ElemType A[]={-1,87,45,78,32,17,65,53,9};
    HeapSort(A,MAX_SIZE-1);
    for(int i=1;i<MAX_SIZE;i++){
        cout<<A[i]<<' ';
    }
    return 0;
}

猪猪传奇

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