徐亦达卡尔曼滤波自测题

https://www.youtube.com/watch?v=YhxuD00S9WA&pbjreload=10

https://github.com/roboticcam/matlab_demos/blob/master/kalman_demo.m

1.给定哪些变量，可以完全确定一个卡尔曼滤波过程。

1）初始概率 2）隐状态的条件概率，即transmition probability 3) 基于隐状态的观测概率，即 measurement probability/ emit probability

2.三种常用的动态模型dynamic model有哪些：

离散状态动态模型 hmm；线性高斯动态模型；非线性非高斯动态模型

3.画出三种动态模型，以及对应的三个因子

	状态转移概率 $P(x_{t}\|x_{t-1})$	测量概率 $P(y_{t}\|y_{t})$	初始概率 $P(x_{1})$
离散状态动态模型 hmm	状态转移矩阵，一行对应上一状态，一列对应下一个状态，每一行概率和为1，每一列概率和为1	any	给定 $\pi$	$HMM =\{A, B, \pi\}$
线性高斯动态模型 kalman filter	$N(Ax_{t-1}+B, Q)$	$N(Hx_{t}+C, R)$	$N(\mu_{0}, \sigma_{0})$	$LDM = \{A, B, Q, H, C, R\}$
非线性非高斯动态模型 particle filter	$f(x_{t-1})$	$g(x_{t})$	$f(x_{0})$

4.状态转移概率形式：

$N(Ax_{t-1}+B, Q)$

，那么函数形式什么样？

$x_{t} = Ax_{t-1}+B+w, w\in N(0, Q)$

其中w是参数吗？

扫描二维码关注公众号，回复： 9153126 查看本文章

w不是，是噪音，Q才是参数

5.观测概率形式：

$N(Hx_{t}+C, R)$

那么函数形式是什么样？

$y_{t}=Hx_{t}+C+v, v \in N(0, R)$

那么v是参数吗？不是，是噪音，R是参数

6.举例说明卡尔曼滤波的应用

在一维有噪声，加速运动中

7.写出上应用中，通用卡尔曼滤波公式和其对应的具体形式。

$\left\{\begin{matrix} &S_{t} =S_{t-1}+V_{t-1}\Delta t + \frac{1}{2} a \Delta t^{2} \\ & V_{t} = V_{t-1} + a\Delta t \end{matrix}\right.$ 其中 $a\sim N(0, \sigma^{2})$

令 $x_{t}=\bigl(\begin{smallmatrix} S_{t} & \\ V{t} & \end{smallmatrix}\bigr)$ ,那么对应到通用卡尔曼公式形式为：

$x_{t}=\begin{bmatrix} 1 & \Delta t\\ 0 & 1 \end{bmatrix} x_{t-1}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\Delta t^{2}\\ \Delta t \end{bmatrix}a$ , 对应到通用公式，B=0, 加号后面的式子是w的一部分，w的完整形式，是按照求出来高斯采样后，加上这部分，共同了高斯噪声。那么参数Q,就是x_t的协方差

$E(w*w^{T})=E\{a^2\begin{bmatrix} \frac{1}{4}\Delta t^4 & \frac{1}{2}\Delta t^3\\ \frac{1}{2}\Delta t^3 & \Delta t^2 \end{bmatrix} \} \\ =\sigma^2\begin{bmatrix} \frac{1}{4}\Delta t^4 & \frac{1}{2}\Delta t^3\\ \frac{1}{2}\Delta t^3 & \Delta t^2 \end{bmatrix}$

而观测概率函数对应的形式为：

$y_{t}=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} x_t$ , 那么y_t对应的协方差矩阵为， $\sigma^2_y_t =\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\sigma^2(x_t)=\\ \begin{bmatrix} 1 &0 \end{bmatrix}\sigma^2\begin{bmatrix} \frac{1}{4}\Delta t^4 & \frac{1}{2}\Delta t^3\\ \frac{1}{2}\Delta t^3 & \Delta t^2 \end{bmatrix} \\ =\sigma^2\begin{bmatrix} \frac{1}{4}\Delta t^4 & \frac{1}{2} \Delta t^3 \end{bmatrix}$ , 而结果里面后面的一项是没有意义的，可以直接扔掉，求得 y_t的方差，即 $R = \frac{1}{4}\sigma^2 \Delta ^4$

8. 卡尔曼滤波里面的filtering指的是什么？

$P(x_t|y_1, ..., y_t)$

9. 卡尔曼滤波里面预测和更新公式各是什么？

预测： $P(x_t|y_1, ..., y_{t-1})$

更新： $P(x_t|y_1, ..., y_t)$

更详细的用于计算的是：

预测是： $\bar{\mu_t} = A\hat\mu_{t-1}+B\\ \bar\Sigma_t = A \hat\Sigma_{t-1}A^T + Q$

更新是（主要是后面两个式子，上面两个式子S, K是中间变量）：

$S=H\bar\Sigma_t H^T+R \\ K = \bar\Sigma_t H^T S^{-1} \\ \hat\mu_t = \bar\mu_t + K(y_t - H\bar\mu_t) \\ \hat\Sigma_t = (1-KH)\bar\Sigma_t$

在预测和更新公式里面，A,B, Q, H, R都是给定的，（比如在一维速度，加速度，位移例子中，如第七题中，A,B,Q,H,R都是对应到物理公式里面去的），初始值 $\hat\mu_1, \hat\Sigma_1$ , 也是给定的，这样就可以按照时间依次求出2,3,4...时刻的 $\mu, \Sigma$

实际的预测值就是 $\bar\mu_t$ , 概率最大，作为预测输出。

10. 推导卡尔曼更新update公式的递归形式

$P(x_t|y_1, ..., y_t) \propto P(x_t, y_1, ..., y_t) \\ =P(y_t|x_t, y_1, ..., y_{t-1}) P(x_t, y_1, ..., y_{t-1}) \\ \propto P(y_t|x_t) P(x_t | y_1, ..., y_{t-1})$

其中 $P(x_t | y_1, ..., y_{t-1}) = \int_{x_{t-1}} P(x_t, x_{t-1}| y_1, ..., y_{t-1}) dx_{t-1} \\ = \int_{x_{t-1}}P(x_t, x_{t-1}, y1, ..., y_{t-1}) / P(y1, ...,, y_{t-1}) dx_{t-1} \\ =\int_{x_{t-1}}P(x_t , x_{t-1}, y_1, .., y_{t-1}) / P(x_{t-1}, y_1, ..., y_{t-1}) \times P(x_{t-1}, y_1, ..., y_{t-1}) / P(y_1, ..., y_{t-1}) dx_{t-1} \\ = \int_{x_{t-1}}P(x_t| x_{t-1}, y1,..., y_{t-1}) \times P(x_{t-1} | y_1, ..., y_{t-1} ) \\ =\int_{x_{t-1}}P(x_t | x_{t-1}) \times P(x_{t-1} | y_1, ..., y_{t-1})$

zhouenlai_silva

发布了159 篇原创文章 · 获赞 55 · 访问量 36万+

私信关注

徐亦达卡尔曼滤波自测题

猜你喜欢