前天，列举对单一向量OMP算法的求解，这个向量是离散的。
但是我们知道自然界中的信号是模拟（连续）信号。学过一些信号系统的同学应该知道，自然界的信号（光信号，声信号）是连续的。
比如下图的信号
假设要保存上图的信号，我们需要等间隔的采样256次（只是假设，上图可能不需要那么多）。采样256次是奈奎斯特定理规定的最少采样次数，如果低于这个次数，上图就没办法恢复出来了。但是压缩感知却告诉我们，我们可以通过某种方法（测量矩阵）采样，使得采样出来的数据只有64个。这样保存的数据量便从256个下降到64个。这就是压缩感知的迷人之处！！！
这篇代码是在香港大学沙威发布在网上的MATLAB代码的复现。网上我找不到关于OMP算法python3.6的代码，所以试着去复现沙威的代码，一来进一步理解OMP算法，二来可以将这个代码公布出来，方便新手学习。
首先先利用三角函数生成一个信号。如下图所示。
经过一系列计算我们可以近乎完美的恢复出上图信号。恢复出来的信号如下图所示。
好了，直接上代码。
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一维连续向量压缩感知的实现（正交匹配跟踪算法）
测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
本篇代码是利用香港大学电子工程系的沙威MATLAB代码进行python3.6的复现
编程时间：2019.7.20
编程人：kyda
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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import numpy.linalg as lg
from math import sqrt
def get_matri_new_plus(A):
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求A矩阵的伪逆
:param A: 输入矩阵
:return A_new: 求解的伪逆矩阵
'''
A_new = A.T.dot(A)
if A_new.ndim < 2:
A_new = 1 / A_new
A_new = A_new * A.T
else:
A_new = lg.inv(A_new)
A_new = A_new.dot(A.T)
return A_new
def get_A_ba(A):
'''
求解A_ba，也就是矩阵列向量单位化
:param A: 输入矩阵
:return A_new: 返回列向量单位后的矩阵
'''
A_new = A.T
for row in range(A_new.shape[0]):
norm2 = lg.norm(A_new[row], ord=2) # 求向量的2范数
A_new[row] /= norm2 # 单位化
return A_new
def find_pos_VecInMatrix(A, v):
'''
求解某个向量在矩阵中的相应行位置
:param A: 输入矩阵
:param v: 输入向量
:return pos: 位置
'''
A_rownum = A.shape[0] # 矩阵行的数量
for pos in range(A_rownum):
if (v==A[pos]).all(): # 判断向量v和矩阵中的某一行是否相等
return pos
'''
1. 时域测试信号生成
'''
K = 7 # 稀疏度
N = 256 # 信号长度
M = 64 # 测量量
f1 = 50 # 信号评率1
f2 = 100 # 信号频率2
f3 = 200 # 信号频率3
f4 = 400 # 信号频率4
fs = 800 # 采样频率
ts = 1 / fs # 采样间隔
Ts = np.arange(0, N) # 采样序列
op = 2 * np.pi * Ts * ts
x = 0.3*np.cos(op*f1) + 0.6*np.cos(op*f2) + 0.1*np.cos(op*f3) + 0.9*np.cos(op*f4) # 完整信号
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2.时域信号压缩传感
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Phi = np.random.randn(M, N) # 测量矩阵(高斯分布白噪声)
s = Phi.dot(x) # 获得线性测量
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3. 正交匹配跟踪算法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
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m = 2 * K # 算法迭代次数(m>=K)
Psi = np.fft.fft(np.eye(N, N)) / sqrt(N) # 傅里叶正变换矩阵
T = Phi.dot(Psi.T) # 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
hat_y = np.zeros(N) # 待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t = None # 增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n = s # 残差值
product = [0]*N
T_tran = T.T
A_ba = T_tran.copy() # 初始化A矩阵
A_ba1 = A_ba # 复制
pos_selected_v = []
for times in range(m):
w = A_ba.dot(r_n) # 求各列向量和残差的投影系数
pos = np.argmax(abs(w)) # 最大投影系数所对应的位置
b_k = A_ba[pos]
A_ba = np.delete(A_ba, pos, axis=0) # 选中的列删除
pos1 = find_pos_VecInMatrix(A_ba1, b_k)
pos_selected_v.append(pos1) # 纪录最大投影系数的位置
if Aug_t is None: # 将最大贡献向量（未单位化的）加入Aug_t矩阵
Aug_t = T_tran[pos1]
else:
Aug_t = np.c_[Aug_t, T_tran[pos1]]
A_new_plus = get_matri_new_plus(Aug_t)
aug_y = A_new_plus.dot(s) # 解最小二乘解
r_n = s - Aug_t.dot(aug_y) # 求残差
for item in range(m): # 重构的谱域向量
pos = pos_selected_v[item]
x_r = aug_y[item]
try:
hat_y[pos] = x_r
except np.ComplexWarning:
pass
hat_x = np.real(Psi.T.dot(hat_y)) # 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
plt.plot(hat_x, marker='.', color='r') # 重建信号
#plt.plot(x) # 原始信号
plt.show()
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