压缩感知：稀疏信号重建

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来考虑这样一个线性方程组： $Ax = b$其中 $A \in \R^{m\times n}，x \in \R^{n}，x \in \R^{n}$。

从图中明显看出这是一个欠定方程组，因为只要 A 的行满秩，该方程组有无穷多组解，否则也可能无解（即 b 不在 A 的列空间内，但我们不考虑这种情况）。

这个方程组是怎么和压缩感知扯上关系的呢？因为 矩阵A 可以看成一个从 n 维空间到 m 维空间的线性映射，显然 $n\gg m$，这是一个压缩映射。

现实的场景是： 采集到的信号 x 是 n 维的，利用压缩变换 A 将原信号压缩成 m 维的 b，由于 $m\ll n$，这将将大大提高信息传播和存储的效率。在这里，我们考虑信号 x 是稀疏的，即 n 个维度中大部分元素为零，只有少量的非零元。

上面这个方程组 $Ax = b$ 的目的就是利用压缩的信号 b，恢复原始信号 x。

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如果你认为这就是一个简单的求解线性方程组问题的话，那就大错特错了，因为如前所述，这个方程组有无穷多个解！

实际上，原始信号重建问题对应的是一个约束问题：
$原始问题：\left\{ \begin{array}{lr} \min ||x||_0, \\ s.t. \:Ax=b \end{array} \right.$

即 在满足约束 $Ax = b$ 的条件下，经可能地减少 x 中非零元的数目。

不幸的是，上述问题并不是一个凸优化问题，因为 $||\bullet||_0$ 表示非零元个数，不是一个凸函数。

取而代之，我们将优化问题中的目标函数换成 $l_1$ 范数和 $l_2$ 范数来看看，即考虑优化问题：
$替代问题1： \left\{ \begin{array}{lr} \min ||x||_2, \\ s.t. \:Ax=b \end{array} \right.$
$替代问题2：\left\{ \begin{array}{lr} \min ||x||_1, \\ s.t. \:Ax=b \end{array} \right.$
上述问题可以用现有的凸优化求解器快速求解! 因为 $l_2$范数是凸函数，而替代问题2 可以通过一些变换转换成凸问题。

结果如下：

• 图1 对应原始的稀疏信号；
• 图2 对应在 $l_2$范数约束下重建的信号；
• 图2 对应在 $l_1$范数约束下重建的信号。

从结果可以看出， $l_2$正则化不能保证稀疏性，而 $l_1$正则化可以！

以下是在 matlab 中调用 CVX 的 mosek 求解器，对上述 $l_2, l_1$ 约束问题求解的代码。

clear all

n = 256;
m = 128;

A = randn(m,n);
u = sprandn(n,1,0.1);
% u = rand(n,1);
b = A*u;

figure(1);
subplot(3,1,1); plot(1:n, u);
title('exact solu');

cvx_solver mosek
cvx_begin 
    variable x(n)
    %minimize( max(norm(x, inf), norm(x,1)/sqrt(n)) )
    %minimize ( max(abs(x)))
    minimize (norm(x))
    subject to
        A*x == b
cvx_end
xl2 = x;

subplot(3,1,2); plot(1:n, xl2);
title('l2 solu');



cvx_begin
    variable x(n)
    minimize( norm(x,1) )
    subject to
        A*x == b
cvx_end
xl1 = x;

subplot(3,1,3); plot(1:n, xl1);
title('l1 solu');

fprintf('\n\nl2 error: %3.2e, l1 error: %3.2e\n', norm(u-xl2), norm(u-xl1));

本文内容参考文再文老师凸优化课程的讲义。