3 插值与曲线拟合

Interpolation and Curve Fitting
给定n+1个数据点(xi,yi), i = 0,1,2,…,n，评估y(x).

3.1 介绍（introduction）

离散数据集，或者形如下面的表格，常常在技术计算中用到，数据源可能来自于实验观察或者数值计算。

3.2 多项式插值（Polynomial Interpolation）
插值和曲线拟合存在差别。对于插值，我们通过数据拟合一条曲线，在拟合过程中，我们潜在假设数据是精确的和独特的；对于曲线拟合，使用的数据通常存在测量误差而引入了噪声，在某种程度上，我们想发现一条光滑的曲线近似数据点，进而，曲线不必穿过每个数据点。插值和曲线拟合的区别如下图：

Lagrange’s Method拉格朗如方法
插值最简单的形式是多项式，经过 $n + 1$ 个明确的数据点，构建一个自由度为 $n$ 的特定多项式总是可以实现的。包含这个多项式的方法就是朗格朗日方程：

其中基函数（cardinal function） $l_{i} (x)$ 如下：

例子1： $n = 1$ ， $p_{1} (x) = y_{0} l_{0} (x) + y_{1} l_{1} (x)$
例子2： $n = 2$ ,

通过观察，基函数具有如下性质

是一个自由度为 $n$ 的多项式
注：Kronecker delta ( $δ_{i j}$ )，当 $n = 2$ ， $x_{0} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = 3$ 时，性质如下图

多项式插值误差如下：

$ξ$ 位于区间( $x_{0}$ , $x_{n}$ )

牛顿方法Newton’s Method
牛顿方法的插值多项式如下：

对于有四个数据点 $n = 3$ ，多项式如下：

$n = 3$ ，利于编程，定义如下形式：

$n$ ，定义如下：

Denoting the x-coordinate array of the data points by xData and the degree of the polynomial by n, we have the following algorithm for computing Pn(x):

p = a[n]
for k in range(1, n+1):
    p = a[n-k] + (x - xData[n-k])*p

系数 $P_{n}$ 迫使多项式通过每一个数据点： $y_{i} = P_{n} (x_{i})$ , $i = 0, 1, . . ., n$ 。则下面的方程同时发生：

引入均差概念(divided differences)

则有：

对于 $n = 4$ ，手工计算系数，可以通过如下表格快速解决：

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正好是多项式的系数。

Machine computations can be carried out within a one-dimensional array a employing the following algorithm (we use the notation m = n + 1 = number of data points):
Python 计算流程如下：

a = yData.copy()
for k in range(1,m):
    for i in range(k, m):
        a[i] = (a[i] - a[k-1])/(xData[i] - xData[k-1])

最初，a包含数据的y坐标，因此它与上表中的第二列相同。每次通过外部循环时，都会在下一列中生成条目，这会覆盖a的相应元素。因此，结束包含上表中的对角项（即多项式的系数）。

牛顿多项式插值方法的Python代码
Newton’s method. Given the data point arrays xData and yData, the function coeffts returns the coefficient array a. After the coefficients are found, the interpolant $P_{n} (x)$ can be evaluated at any value of x with the function evalPoly.

def evalPoly(a, xData, x):
    n = len(xData) - 1
    p = a[n]
    for k in range(1, n+1):
        p = a[n-k]  + (x - xData[n-k])*p
    return p

def coeffts(xData, yData):
    m = len(xData)
    a = yData.copy()
    for k in range(1,m):
        a[k:m] = (a[k:m] - a[k-1]) / (xData[k:m] - xData[k-1])
    return a

参考翻译《Numerical Methods in Engineering with Python 3》

Python数值计算之插值曲线拟合-01

3 插值与曲线拟合

3.1 介绍（introduction）

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