曲线拟合度分析

本文分析几种拟合度指标的性能。

曲线拟合度分析

几种拟合度评价指标

对于序列 $Y_{i}$ ，其拟合值为 $y_{i}$ 。序列 $Y_{i}$ 的平均值为 $\bar Y$ ，拟合值的平均值为 $\bar y$ 。序列 $Y_{i}$ 的方差为 $S$ ，拟合值的平均值为 $s$ 。

拟合优度R^2

R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - Y_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - \bar{Y})^{2}}

$R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-Y_{i})^2}{\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\bar Y)^2}$
范围

[- \infty, 1)

$[-\infty,1)$

拟合度E

本文提出一种新的拟合程度度量 $E$ ，公式如下：

Z = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{| y_{i} - Y_{i} |}{| Y_{i} | + ε})^{p})^{\frac{1}{p}} + 1

$Z = (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{|y_{i}-Y_{i}|}{|Y_{i}|+\varepsilon})^p)^{\frac{1}{p}}+1$

E = 1 - \frac{Z - 1}{Z + 1}

$E=1 - \frac{Z-1} {Z+1}$
其中

p > 0

$p>0$ ，一般

p = 2

$p=2$ ，

ε

$\varepsilon$ 取一个小数如

10^{- 10}

$10^{-10}$ ，

E

$E$ 范围在

[0, 1)

$[0,1)$

python实现代码

import numpy as np

def R2_fun(y, y_forecast, testing):
    # 拟合优度R^2
    y_mean=np.mean(y)
    return 1 - (np.sum((y_forecast - y) ** 2)) / (np.sum((y - y_mean) ** 2))

def E_fun(y, y_forecast, testing, error_power):
    # 拟合度E
    y_e = np.abs(y[-testing:] - y_forecast[-testing:]) / (np.abs(y[-testing:]) + 10**-10)
    y_sum = np.sum((y_e) ** error_power) / testing + 1
    return 1 - ((y_sum) ** (1 / error_power) - 1) / (1 + (y_sum) ** (1 / error_power))

实验

1

用正弦曲线来做实验。取两条相位相同但是幅度不一样的曲线做对比。取n条幅度不一样的正弦曲线作为拟合曲线。

import matplotlib.pyplot as plt

n= 1000
b = 1
c = 0
A = np.linspace(0.5, 1.5, n)

x = np.linspace(0, 1, n)
y = np.sin(x) * b
y_forecast = [A[i] * np.sin(x) * b + c for i in range(n)]

R2 = [R2_fun(y, y_forecast[i], n) for i in range(n)]
E = [E_fun(y, y_forecast[i], n, 2) for i in range(n)]

fig= plt.figure()
plt.plot(A, R2, 'r')
plt.plot(A, E, 'b')

2

观察 $E$ 随幅度的变化。

A = np.linspace(-100, 100, n)
y_forecast = [A[i] * np.sin(x) * b + c for i in range(n)]
E = [E_fun(y, y_forecast[i], n, 2) for i in range(n)]

fig= plt.figure()
plt.plot(A, E, 'b')

结论

$E$ 在 $[0,1)$ 中变化，可以比较好表示曲线的拟合情况。