定义
数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。
如果一个 n 元多项式 \(\text P(x_1,x_2,...,x_n)\) ，对任意的 n 元置换 \(\sigma\)，都有 \(\text P(x_{\sigma_1}, x_{\sigma_2}, ..., x_{\sigma_n})=\text P(x_1,x_2, ...,x_n)\) ，就说 \(\text P\) 是对称多项式。
一些（特殊的）例子
范德蒙德矩阵的行列式值： \(\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\) ，顺便说一句这个东西也是多项式 \(\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)\) 的判别式
等幂对称式： \(p_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\)
初等对称式： \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{S\subseteq\{1,2,...,n\},|S|=k}\prod\limits_{i\in S}x_i,1\le k\le n\) ，当 \(k>n\) 时 \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0\) ，当 \(k=0\) 时， \(e_k=1\)
完全齐次对称式： \(h_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{1\le i_1\le i_2\le\cdots\le i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}\)，，当 \(k=0\) 时， \(h_k=1\)
对称多项式基本定理
一个 n 元多项式 F 是一些 n 元初等对称式的代数组合，当且仅当 F 是对称多项式
该定理的直接推论： 将首一多项式的 n 个根带入一个对称多项式，等于将原多项式的各项系数带入某个多项式
一些有趣的结论
由于讨论的 n 个变元都一样，以下把等幂对称式，初等对称式，完全初等对称式的第 \(k\) 项分别简称为 \(p_k,e_k,h_k\)
令 \(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}p_ix^i,E_0(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}e_ix^i,H(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}h_ix^i,E(x)=E_0(-x)\)
结论1
\(E*H=1\)
证明：
显然有 \(H(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac1{1-x_ix}\) 和 \(F(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^{n-i}\)
那么 \(x^nF(\frac1x)=\prod\limits_{i=1}^n(1-x_ix)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^i=E(x)\)
于是 \(E*H=1\)
得证
结论2
\[ \begin{aligned} e_k(1,2,...,n)=&S1_{n+1}^{n+1-k}\\ h_k(1,2,...,n)=&S2_{n+k}^{n} \end{aligned} \]
将生成函数进行比对即可证明
结论3
\(\forall n,k\ge1,ke_k=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i\)
可以用数学归纳法证明，从一元推到n元的形式
这个结论可以用生成函数的形式进一步推导得到 \(P(-x)=(\ln E_0(x))'\) ，这样可以快速实现 \(P,E_0\) 的互化