今天学习了拓展欧几里得，你不是会吗？
很多题解对我来说啃起来有难度，我在这里写一下自己的理解吧。
（所以下面每句话都是对我来说的）
\(Part\;1\).
欧几里得算法。
一行了事，没大问题。
\(Code\):
int gcd(int a, int b) return b==0?a:gcd(b,a%b);
相关定理：
\[gcd(a,b)=\dfrac{ab}{lcm(a,b)}\]
挺有用的。
\(Part\;2\).
裴蜀定理。
不定方程
\[ax+by=c\]
有整数解的充分条件是：
\[gcd(a,b)|c\]
很简单，设\(a=k_1gcd(a,b),b=k_2gcd(a,b)\),
左边\(=(k_1x+k_2y)gcd(a,b)=\)右边，存在解。
得证。
例题：P4549 【模板】裴蜀定理
裴蜀定理对多元不定方程仍成立。
\(Part\;3\).
不定方程。
考虑有解的不定方程：
\[ax+by=c\]
的一组解。
运用裴蜀定理，两边同时除以\(gcd(a,b)\),假设为：
\[a'x+b'y=c'\]
同时除以\(c'\)，得：
\[a'\dfrac{x}{c'}+b'\dfrac{y}{c'}=1\]
令\(x'=\dfrac{x}{c'},y'=b'\dfrac{y}{c'}\),方程化为：
\[a'x'+b'y'=1\]
可以跑拓欧了。
等一下，拓欧咋跑？
\(Part\;4\).
拓展欧几里得。
求解方程：
\[ax+by=1\]
或是
\[ax\equiv1\pmod{b}\]
找个\(y\)值，使得\(ax=by+1\)，显然\(ax-by=1\),这里令\(y\leqslant0\)，得：
\[ax+by=1\]
就是上式了。
显然\(a,b\)互质。
我们令\(a_1=b,b_1=(a\;mod\;b)\),得一新方程：
\[a_1x_1+b_1y_1=1\]
我们的任务就是找这两个方程的解了。
由取模定义：
\(a\;mod\;b=a-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\),可得：
\[bx_1+(a-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor)y_1=1=ax+by\]
整理一下可知：
\[ay_1+b(x_1-y_1\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor)=ax+by\]
那么原方程的解为：
\[x=y_1,y=x_1-y_1\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\]
那么\(x_1,y_1\)怎么求呢？
发现可以递归，最后会出现：
\[x=1,b_n=0,a_n=1\]
如果是求逆元，记得处理负数。
下面放上板子题代码：
\(Code\)：
void exgcd(ll a,ll b)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b);
ll t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
int main()
{
ll a,b;
cin>>a>>b;
exgcd(a,b);
x=(x+b)%b;
cout<<x;
return 0;
}\(Part\;5\).
不定方程（进阶）。
上面说过一些，不过这里是找通解。
有个结论：
\[\begin{cases}x_t=x_0+b't\\y_t=y_0-a't\end{cases}\]
证明很费解：
发现只需证\(ax_t+by_t=1\)即可。
若成立
左边=\(a(x_0+b't)+b(y_0-a't)=ax_0+by_0+ab't+a'bt=1+\dfrac{abt}{gcd(a,b)}-\dfrac{abt}{gcd(a,b)}=1\)=右边。
得证。
\(Part\;6\).
关于\(x,y\)的最小（大）整数解。
对于\(x\)，就是个碾转相除嘛，求出的特解\(x\)一定是：
\[x=x_{min}+b'k\]
对\(b'\)取模即得\(x_{min}\)，
其实是满足：
\[x_{min}+a'x_{max}=c'\]
的。
那么解的数量：
\[sum=\dfrac{x_{max}-x_{min}}{b'}+1\]
这些同理于\(y\)。
就这些了，只差代码了，还没打，让他先咕一会吧。
咕中......