邻接矩阵—图的存储结构

图没有顺序存储结构，但可以借助 二维数组来表示元素之间的关系，即 邻接矩阵表示法
图的链式存储结构有多种， 邻接表、十字链表、邻接多重表

邻接矩阵、邻接表是我们重点要研究的

邻接矩阵

1、邻接矩阵表示法

建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）

• 设图A=(V，E)有 n 个顶点，则
  
• 图的邻接矩阵是一个二维数组A.arcs[n][n]，定义为：
  

2、无向图的邻接矩阵表示法

分析1：无向图的邻接矩阵是对称的
分析2：顶点 i 的度=第 i 行(列)中 1 的个数
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余为1

3、有向图的邻接矩阵表示法

分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的
分析2：
顶点的出度=第 i 行元素之和
顶点的入度=第 i 列元素之和
顶点的度=第 i 行元素之和+第 i 列元素之和

4、网（有权图）的邻接矩阵表示法

定义为：

5、邻接矩阵的存储表示

邻接矩阵的存储表示：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵

6、采用邻接矩阵表示法创建无向网

【算法思想】
①输入总顶点数和总边数
②依次输入点的信息存入顶点表中
③初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
④构造邻接矩阵
【算法描述】

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;    //输入总顶点数，总边数 
   for(i=0;i<G.vexnum;++i)
     cin>>G.vexs[i];          //依次输入点的信息 
     
   for(i=0;i<G.vexnum;++i)    //初始化邻接矩阵，边的权值均为Maxint 
      for(j=0;j<G.vexnum;++j)
	    G.arcs[i][j]=Maxint;
		
    for(k=0;k<G.arcnum;++k)   //构造邻接矩阵 
	{
		cin>>v1>>v2>>w;       //输入一条边依附的顶点及权值 
		i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2); //确定v1，v1在G中的位置，即顶点数组的下标 
		G.arcs[i][j]=w;       //边<v1,v2>的权值置为w 
		G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];	//置<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值为w	
	}
	return OK;
}

那么怎样找到上面算法的i 和 j 呢，即 v1 和 v2 的下标

【算法分析】
时间复杂的为O(n^2)

既然我们知道了怎样用邻接矩阵表示法创建无向网，其实无向图、有向网、有向图我们也就知道怎样创建了，只需要对创建无向网的算法步骤稍作改变

7、邻接矩阵优点和缺点

优点：

• 直观、简单、好理解

• 方便检查任意一对顶点间是否存在边

• 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）

• 方便计算任一顶点的“度”
  
  缺点：

• 不便于增加和删除顶点

• 浪费空间—存稀疏图（点很多、边很少）有大量无效元素，空间复杂度O(n^2)

• 浪费时间—统计一共多少条边，需要扫描邻接矩阵所有元素，时间复杂度O(n^2)

8、邻接矩阵表示法创建无向网代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

#define OK 1
#define Maxint 32767
typedef int status ;

typedef struct
{
	char vexs[100];
	int arcs[100][100];
	int vexnum,arcnum;
}AMGraphy;
status LocateVex(AMGraphy G,int u);
status CreateUDN(AMGraphy &G);

int main()
{
	AMGraphy G;
	CreateUDN(G);
	cout<<"邻接矩阵为："<<endl;
	for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
	{
		for(int j=0;j<G.vexnum;j++)
		cout<<G.arcs[i][j]<<" ";
		
		cout<<endl;
	  }  
	return 0;
}

status CreateUDN(AMGraphy &G)
{//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;    //输入总顶点数，总边数 
   for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
     cin>>G.vexs[i];          //依次输入点的信息 
     
   for(int i=0;i<G.vexnum;i++)    //初始化邻接矩阵，边的权值均为Maxint 
      for(int j=0;j<G.vexnum;j++)
	    G.arcs[i][j]=Maxint;
		
    for(int k=0;k<G.arcnum;k++)   //构造邻接矩阵 
	{
		char v1,v2;
		int w;
		cin>>v1>>v2>>w;       //输入一条边依附的顶点及权值 
		int i=LocateVex(G,v1);
		int j=LocateVex(G,v2); //确定v1，v1在G中的位置，即顶点数组的下标 
		G.arcs[i][j]=w;       //边<v1,v2>的权值置为w 
		G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];	//置<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值为w	
	}
	return OK;
}

status LocateVex(AMGraphy G,int u)
{
	int i;
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
	  if(u==G.vexs[i]) return i;
	return -1;  
}