C语言数据结构与算法---图的存储结构（邻接矩阵、邻接表）

一. 邻接矩阵

数组表示法

1. 无向图

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

有 n 个顶点，则邻接矩阵是一个 n*n 的方阵

• 完全图的邻接矩阵，对角元素为0，其余为1
• 对角线上是自身与自身间，没有连接关系；
• 无向图的边数组是一个对称矩阵；
• 顶点的度：这个顶点 Vi 在邻接矩阵中第 i 行（或第 j 列）元素之和。如V1的度为 0+1+0+1+0 = 2
• 求顶点 Vi 的邻接点就是将第 i 行元素扫描一遍，arc[i][j] 为 1 就是邻接点

2. 有向图

• 主对角线数值依然为 0 ，矩阵不对称
• 第 i 行：以结点 Vi 为尾的弧（出度边）
• 第 i 列：以结点 Vi 为头的弧（入度边）
• 顶点 Vi 的入度 = 第 i 列数之和；
• 顶点 Vi 的出度 = 第 i 行数之和。
  如：V1 的度为 3（入列出行）
• 求顶点 Vi 的邻接点就是将第 i 行元素扫描一遍，arc[i][j] 为 1 就是邻接点

3. 网图

权图：
这里“∞”表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值。 是一个不可能的极限值

4. 邻接矩阵的建立

结构：

#define MAXWEX 100  //最大顶点数
#define INFINITY 65535 //表示∞

typedef struct
{
	char vesx[MAXWEX];  //顶点表
	int arc[MAXWEX][MAXWEX];  //邻接矩阵(边表)
	int numv;  //顶点数
	int nume;  //边数
}MGraph;

建立无向网的邻接矩阵：
算法思想：

void CreateMGraph(MGraph* G)
{
	int i, j, k, w;
	printf("请分别输入顶点数和边数：\n");
	scanf("%d %d",&G->numv,&G->nume);
	//读入顶点信息
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		scanf("%c",&G->vesx[i]);
	}
	
	for (i = 0; i < G->nume; i++)
	{
		for (j = 0; j < G->nume; j++)
		{
			G->arc[i][j] = INFINITY;  //初始化为∞
		}	
	}

	//建立邻接矩阵
	for (k = 0; k < G->nume; k++)
	{
		printf("请输入边（Vi,Vj）的下标i，j，和权值w：\n");
		scanf("%d %d %d", &i, &j, &w);
		G->arc[i][j] = w;
		G->arc[i][j] = G->arc[j][i];  //无向图矩阵对称
	}
}

1. 构造无向图时只需：

• 初始化邻接矩阵时，w = 0；
• 构造邻接矩阵时，w = 1；

2. 构造有向网时只需：

• 仅为G->arc[i][j]赋值，无需使G->arc[i][j] = G->arc[j][i]

3. 构造有向图时只需同时满足1、2

5. 邻接矩阵的优劣

好处：

坏处：

时间复杂度：n个顶点e条边创建O(n+n²+e) ，初始化 O(n²)

二. 邻接表

数组与链表相结合

邻接表表示法：

• 顶点用一个一维数组存储，每个数据还需要存储指向第一个邻接点的指针
• 每个顶点的所有邻接点构成一个单链表
  • 无向图称为顶点 Vi 的边表，有向图称为顶点 Vi 作为弧尾的出边表
    

1.无向图

特点：

1. 邻接表不唯一
2. 若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则其邻接表需 n 个头结点和 2e 个表结点
3. 无向图中顶点 Vi 的度为第 i 个单链表中结点数

2.有向图

把顶点当弧尾建立的邻接表，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。

有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，也可以建立一个有向图的逆邻接表

3.网图

在边表结点定义中再增加一个数据域来存储权值即可

4. 邻接表的建立

结构：

//边表结点
typedef struct EdgeNode
{
	int adjvex;  //该顶点对应的下标
	int weight;  //权值，非网图不需要
	struct EdgeNode* next; //指向下一个邻接点
}EdgeNode;

//顶点表结点
typedef struct VertexNode
{
	char data; //存储顶点信息
	EdgeNode* fistedge; //边表头指针
}VertexNode，AdjList[MAXWEX];

typedef struct
{
	AdjList adjList;  //顶点表
	int nume;  //图中当前边数
	int numv;  //图中当前顶点数
}GraphAdjList;

无向图领接表的建立：

void CreateALGraph(GraphAdjList* G)
{
	int i, j, k;
	EdgeNode* e; //边表结点
	printf("请分别输入顶点数和边数：\n");//若有权值，可在加入 w
	scanf("%d %d",&G->numv,&G->nume);
	//读入顶点信息
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		scanf("%c", &G->adjList[i].data); //输入顶点信息
		G->adjList[i].fistedge = NULL;    //边表置为空表
	}

	//建立边表
	for (k = 0; k < G->nume; k++)
	{
		printf("请输入边（Vi,Vj）上的顶点序号：\n");
		scanf("%d %d", &i, &j);

		//类似于头插法
		e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
		e->adjvex = j;   //邻接序号为 j -> i 指向的顶点的下标
		//e->weight = w;//存储该边的权值
		e->next = G->adjList[i].fistedge;  //将 e 的指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[i].fistedge = e;   //将当前顶点是指针指向 e
		//对于无向图而言,对称的
		e = (EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
		e->adjvex = i;    //邻接序号为 i -> j 指向的顶点的下标
		//e->weight = w;//存储该边的权值
		e->next = G->adjList[j].fistedge;  //将 e 的指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[j].fistedge = e;   //将当前顶点是指针指向 e
	}
}

邻接表的遍历：

//不能传指针，防止遍历时改变原来结构
void PrintGraphAdjList(GraphAdjList G)
{
	for (int i = 0; i < G.numv; i++)
	{
		EdgeNode* p = G.adjList[i].fistedge;
		printf("该顶点为 %c：\n", G.adjList[i].data);
		while (p)
		{
			printf("（%c,%c），权值为 %d \n", G.adjList[i].data, G.adjList[p->adjvex].data, p->weight);
			p = p->next;
		}
		printf("\n");
	}
}

时间复杂度：n个顶点e条边 O(n+e)

5. 邻接表的优劣

三. 邻接矩阵与邻接表的关系

1. 邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的第一行，链表中结点的个数等于一行中非零元素的个数
2. 对于任意图，邻接矩阵是唯一的，但是邻接表不唯一（连接次序与顶点编号无关）
3. 邻接矩阵空间复杂度：O(n²)；邻接表的空间复杂度是： O(n+e)
4. 邻接矩阵多用于稠密图；邻接表多用于稀疏图