第一章线性规划
利用现有资源安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记 LP) 则是数学规划的一个重要分支。
【1】问题举例
线性规划在高中数学中多少涉猎过，这里只给出最终的问题：厂商生产x1台甲机床和x2台乙机床时利润最大，则x1和x2应满足目标函数,这里是利润的表达式；需要有约束条件，比如A机器和B机器生产时间的 限制。几个约束条件记为s.t.(即 subject to ) .然后需要记住的是决策变量，这里是x1和x2，有两个决策变量。
【2】线性规划因何得名？
由于目标函数和约束条件均为线性函数，故称之为线性规划问题。
【3】实际提醒
在解决实际问题的时候，把问题归结成为一个线性规划数学模型是很重要的一步。模型归类是否恰当，决策变量选取是否得当，都很重要。
【4】线性规划的matlab标准形式
背景：对于最优化问题，我们有自己的目标方程(即目标函数)，然后有根据实际情况得来的约束条件，这里存在的问题是：线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值；约束条件的不等号可以是小于号，同样也可以是大于号。为了减少形式多样性带来的计算不便，Matlab中规定线性规划的标准形式为
其中c和x为n维列向量，A，Aeq为适当维数的矩阵，b，beq为适当维数的列向量。
即线性规划Matlab标准型：目标函数用小于等于号；约束条件用小于等于号。
例如下面的线性规划要求：
其对应的Matlab标准型为：
【5】Matlab中线性规划的解法
我们已知上面Matlab线性规划的标准型 目标函数：
基本的线性约束条件：
Matlab中基本函数形式为linprog(c,A,b),它的返回值是向量x的值。
备注：这里linprog就是linear program线性规划的缩写
标准形式为：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,OPTIONS)
对上式的解释：这里fval返回目标函数的值，lb和ub分别是变量x的下界和上界，x0是x的初始值，OPTIONS是控制参数。
【5.1】例题求解下面的线性规划问题
【5.1.1】matlab代码：
c=[2;3;-5];%目标函数的系数,标准形式
A=[-2,5,-1;1,3,1];%约束条件不等式等号左边
b=[-10;12];%约束条件不等式等号右边
Aeq=[1,1,1];%约束等式等号左边
beq=[7];%约束等式等号右边
%x得到决策变量x向量的值，这里是3*1
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1))%zeros(3,1)表示决策变量的左边界
value=c'*x
【5.1.2】得到实验结果：
【5.1.3】分析结果：
在x1=6.4286,x2=0.5714,x3=0时，最优化值为14.5715
【5.1.4】现在回头看这道例题，笔者回头琢磨一下，如果如下标准形式解法如何？
即：使用[x,fval]在一起，而不是单独计算出x而后计算value。
这样逻辑不清楚，容易搞乱。
c=[-2;-3;5];%目标函数的系数取反，目的是保证min标准形式
A=[-2,5,-1;1,3,1];%约束不等式等号左边系数
b=[-10;12];%约束不等式等号右边系数
Aeq=[1,1,1,];%约束等式等号左边系数
beq=[7];%约束等式等号右边系数
%x得到决策变量x向量的值
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1))%zeros(3,1)表示决策变量的左边界，这里是x1，x2，x3=0
【5.1.4】实验结果：
发现，决策变量的取值没变，最后的最优化值变成相反数。说明了什么？
说明了Matlab标准型(目标函数是最小值)和目标函数是最大值的处理手法不一样，不能直接[x,fval]一起用，这样会出现上面的问题，差一个负号。正确处理方法：目标函数的系数正常书写，linprog函数输出一个变量x；目标函数的值后面通过下式计算：
fval=c'*x;%c表示目标函数系数向量；x表示解的向量；fval目标函数的值
【5.2】练习题
【5.2.1】练习代码：
c=[2;3;1];%目标函数的系数，转置完为c
A=[-1,-4,-2;-3,-2,0];
b=[-8;-6];
[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],zeros(3,1))
【5.2.2】练习结果：
【总结】
1.学习线性规划的Matlab实现，其主要函数是linprog()。
2.linprog()函数的使用，注意matlab中线性规划标准型的定义。
