洛谷 P2195 HXY造公园 题解

题目：P2195 HXY造公园

DP - 树形DP - 树的直径 - 图论 - 树

题目大意

给出一个 $n$个点， $m$ 条边组成的森林（有若干棵树），有 $q$ 组询问：

1. 给出点 $x$，求点 $x$ 所在的树的直径
2. 给出点 $x,y$，要求将 $x,y$ 所在的树之间连一条边并构成一棵新的树，满足这个新的树的直径最小

解题思路

首先，我们用树形DP求出每棵树的直径（bfs 常数大），并用并查集维护连通情况
维护 $c[]$ 数组：对于每棵树的根节点 $x$， $c[x]=$ 该树的直径长度

接下来，对于每个询问 $2$（如果给出的两点在同一棵树内则忽略），利用并查集找出两棵树的根节点 $x,y$，并用并查集合并两棵树；合并后的树的直径则为 $max\{ \lceil\frac{c[x]}{2}\rceil + \lceil\frac{c[y]}{2}\rceil +1,c[x],c[y] \}$，这里讲一下原因

要想直径最短，我们选择加边点一定要在直径上，因为其他的点走到直径还要一段距离，从而增长了路径
那么直径就被要选择的这个点分成了两段，那么两段中较长的那段的长度的最小值，就是 直径长度的一般向上取整

**注意：**后边的 $c[x],c[y]$ 一定要加上，不然只有三十分（像我一样QwQ）
因为在合并后的树里，原来两棵树的直径还是存在的，所以新的树的直径至少是 $max(c[x],c[y])$

比如说下图：

$c[x]=4,c[y]=1$
那么，按 $\lceil\frac{c[x]}{2}\rceil + \lceil\frac{c[y]}{2}\rceil +1$ 算出的直径应该是 $3$。
而正确的直径该是 $4$，所以一定要加上 $c[x],c[y]$

最后，对于每个询问 $1$，输出该树根节点对应的 $c[]$ 数组值就可以了

AC代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=300000+10,inf=0x3f3f3f3f;
int d[Maxn],g[Maxn];
int f[Maxn],c[Maxn];
bool vis[Maxn];
vector <int> e[Maxn];
int n,m,q,len;
inline int read()
{
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*w;
}
int find(int x)
{
	if(f[x]==x)return x;
	return f[x]=find(f[x]);
}
void dfs(int x,int fa) // 树形DP求树的直径
{
	int m1=-1,m2=-1;
	for(int i=0;i<e[x].size();++i)
	{
		int y=e[x][i];
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);
		int tmp=d[y]+1;
		d[x]=max(d[x],tmp);
		if(tmp>m1)m2=m1,m1=tmp;
		else if(tmp>m2)m2=tmp;
	}
	g[x]=max(max(0,m1+m2),max(m1,m2));
	len=max(len,g[x]);
}
void calc(int x) // 寻找树的直径
{
	len=0;
	dfs(x,0);
	c[x]=len;
}
int main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	n=read(),m=read(),q=read();
	
	for(int i=1;i<=n;++i)
	f[i]=i;
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=read(),y=read();
		f[find(x)]=find(y);
		e[x].push_back(y);
		e[y].push_back(x);
	}
	
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(f[i]!=i || vis[i])continue;
		calc(i);
		vis[i]=1;
	}
	
	while(q--)
	{
		int opt=read(),x=read();
		if(opt==1)
		{
			printf("%d\n",c[find(x)]);
			continue;
		}
		int y=read();
		x=find(x),y=find(y);
		if(x==y)continue;
		int tmp=((c[x]+1)>>1)+((c[y]+1)>>1)+1; //一个巧妙的向上取整的方法
		
		tmp=max(tmp,max(c[x],c[y]));
		
		f[find(x)]=find(y);
		c[find(x)]=tmp;
	}
	
	return 0;
}