A. 盗梦空间
考虑首先构建一棵虚树，然后跑一遍多源点最短路，求出每个虚树上的点到达最近的关键点的距离。
分类讨论最终的答案 $u$ 的出现位置。
1.出现在虚树节点的一个满足子树不含虚树节点的儿子子树中。
一个很好的性质是我们只关注最大值。
所以考虑对每个节点维护一个 multiset ，表示这个节点的每个儿子子树中最大的深度。
每次构建完虚树后，去掉每个满足子树含关键点的儿子的贡献，访问 multiset 中的最大值更新答案即可。
2.出现在两个相邻的虚树节点的路径上的点的子树中。
考虑一些简单的情况，设 $x$ 为虚树上的儿子节点， $f$ 为父亲节点， $dis$ 表示最短路数组。
(1) 如果有 $dis_x=dis_f + dep_x - dep_f$，那么 $dis_u=dis_f + dist(u,f)$。
因为 $u$ 在 $f$ 的子树中，那么 $dist(u,f)=dep_x-dep_f$ ，要维护的是一个点去除一个儿子贡献的最大 $dep_{son}$ 值。
(2) 如果有 $dis_f=dis_x+dep_x-dep_f$，那么 $dis_u=dis_x+dist(x,u)$。
其中 $dist(u,x)=dep_u+dep_x-2*dep_{lca}$，所以要维护的是一个点去除一个儿子贡献的最大的 $dep_{son}-2*dep_{x}$ 值。
如果不满足这个性质，那么我们可以找到一个分界点，满足分界点的两侧分别满足这两条性质，然后用这样的做法处理。
比较难搞的是如何处理去除一个点贡献的值，一个简单的想法是树剖，然后维护去除重儿子贡献，对于跳轻边特判。
一个很套路的容易维护的做法是，对于每个点维护他的父亲节点删掉这个点贡献之后的值，这样的话直接倍增就完事了。
B. 爱乐之城
似乎是dy讲课原题。
这种与子集 $\gcd$ 相关的题，套路都是枚举 $\gcd$ ，然后算方案数。
首先定义题中的函数。
$v(n)=\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^n [\gcd(i,j)==1]*i*j$
$h(n)=\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^n \mu(i*j)$
直接推式子。
$ans=\sum \limits_{T \in U} h(\gcd(T)) \prod_{i \in T}v_{a_i}$
$=\sum \limits_{d=1}^m h(d)\sum \limits_{T \in U}[\gcd(T)==d]\prod_{i \in T}v_{a_i}$
这里设 $f(x)$ 表示 $\gcd$ 为 $x$ 的倍数的贡献和。
那么有
$ans=\sum \limits_{d=1}^m h(d) \sum \limits_{d|k}\mu(k/d)f(k)$
$=\sum \limits_{k=1}^m f(k) \sum_{d|k}h(d)\mu(k/d)$
设 $g(n)=\sum_{d|n} \mu(d) h(n/d)$，那么有 $ans=\sum \limits_{d=1}^m f(d)g(d)$
因为单次操作只涉及约数个数个 $f$ 的修改，问题只剩下如何求这一堆函数。
考虑 $f(x)$ 实际上就对应着每个 $x$ 的倍数，有选与不选两种状态，所以 $f(x)=\prod_{x|a_i} (v_{a_i}+1)$。
至于 $v,h$ 函数，简单的用反演推一推式子也可知每次 $n \leftarrow n+1$ 的变化量只有约数个数个，所以暴力的复杂度就是 $n ln(n)$ 的。
C. 星际穿越
$r=1$ 的部分分的做法是考虑 $i$ 在 $[1,i]$ 中的排名，然后直接进行 dp 就完事了。
设 $m=\lfloor \frac{n-1}{k} \rfloor$ ，即稳定点的个数。
一个合法的方案，对应着 $m+1$ 段上升序列组成的排列，但是对于每个稳定点与它下一个点的取值是下降的。
考虑写个容斥。
设 $f_x$ 表示恰好有 $x$ 个稳定点变成了不稳定点的方案数，$g_x$ 表示至少有 $x$ 个稳定点变成了不稳定点的方案数。
那么有 $f_0=\sum \limits_{i=0}^{n} g_i(-1)^i$。
为了求出 $g$ 数组，考虑一个 dp。
$dp_{i,j}$表示最后考虑的上升序列的结尾是 $i*k$ ，其中至多有 $j$ 个稳定点，也就是至少有 $i-j$ 个稳定点变成了不稳定点的方案数。
然后发现这个东西没办法算。但是如果我们知道了每个上升序列的长度 $a_i$，那么这个方案数显然是 $\dfrac{n!}{\prod a_i!}$。
所以只要给从 $t$ 到 $i$ 的转移系数设为 $\frac{1}{((i-t)*k)!}$ 即可。
那么有一个显然的基于加法的转移。
然后观察我们最终要求的答案，发现并不关心具体的 $j$ 的取值，而只关心 $m-j$ 的奇偶性，所以给这个 dp 的转移乘个 $-1$ 的系数就完事了。
然后发现这个式子是个卷积式，所以推一下式子，整个多项式求逆就好了。