A. Alchemy
考虑递归挪动这个塔的过程。
然后发现有一些递归是没有必要的。
通过初始状态可以判断递归的前半部分或后半部分是没有必要的。
直接统计不递归的部分的贡献，然后递归另一部分就好了。
这样的复杂度应该可以做到线性。
B. Algebra
要统计这个答案无非两个办法。找到 $n$，判断在两个进制下的和是否相等。
找到两个进制下相等的数，然后取交集找到 $n$。
采用后一种办法。
考虑首先写一个函数 $next(n,k,s)$ 表示 $\geq n$ 的 $k$ 进制下总和为 $s$ 的最小的数字。
这个函数写一个类似数位 dp 的东西就可以 $O(log n)$ 求出来。
然后设 $g_s$ 表示 $s$ 的答案至少为 $g_s$。
那么每次取出最小的 $g_s$，通过 $next(g_s,a,s),next(g_s,b,s)$ 的取值，可以判断是否找到答案。
如果没有找到答案，那么更新 $g_s$ 。
C. Anarchy
暴力的做法是枚举$x,y$，然后计算两点之间的距离。
然而这个算法不是很好优化，考虑现在枚举 $x$ 和 $y-x$。
也就是说枚举爆炸点和爆炸向量，然后可以更新对应的 $y$。
这样的话问题可以写成一个卷积的形式 $ans_y=\sum \limits_{i \oplus j=y}a_i*dis_j$。
$\oplus$ 操作即对位相加在模意义下相等。
考虑构造一个 $DFT$ ，这个 $DFT$ 实际上就是按照维度依次做一下快速傅里叶变换。
所以问题是怎么做任意长度 $FFT$。
要求的是 $b_i=\sum \limits_{j=0}^{n-1}a_i*w_n^{ij}$，这个 $i*j$ 就很恶心。
一个处理这个的套路是把 $i*j$ 展开为 $\dfrac{(i+j)^2-i^2-j^2}{2}$，于是直接做 $FFT$ 卷积就完事了。