目录
1 二叉树的基本概念
1.1 结点的度
结点所拥有的子树的个数
就是结点有几个儿子
1.2 叶结点
度为0的结点称为叶结点，或者终端结点
1.3 分枝结点/终端结点
度不为0的结点，除了叶结点，都是分支结点
1.4 左孩子、右孩子、双亲
具有同一个双亲的孩子互称为兄弟
1.5 路径、路径长度
一棵树的一串结点n1、n2、n3…nk有如下关系：ni是ni+1的父结点，称一条n1到nk的路径。路径的长度为k-1。
1.6 祖先、子孙
在树中，如果有一条路径从结点M到结点N，那么M就称为N的祖先，而N称为M的子孙
1.7 结点的层数
1.8 树的深度
树中所有结点的最大层数
1.9 树的度
各节点度的最大值
1.10 满二叉树、完全二叉树
1.11 大顶堆和小顶堆
大顶堆：所有父节点的值大于自己两个子节点的值。
小顶堆：所有父节点的值小于自己两个子节点的值。
2 二叉树的性质
- 完全二叉树中，假设父节点的序号为n，则其左结点的序号为2n+1，其右结点的序号为2n+2
- 一个完全二叉树，倒数第一个非叶子结点的序号为（所有结点数/2-1），这里是整除。
- 所有结点的度数之和 + 1 = 结点总数
- 度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个，n0 = n2 + 1
（证明：n0+n1+n2=n1+2*n2=n） - 在完全二叉树中，度为1的结点的个数为0或者1
- 一棵深度为k的二叉树中，最多具有2^k-1个结点，最少有k个结点
3 二叉树的遍历
3.1 先序遍历
根→左→右
3.2 中序遍历
左→根→右
3.3 后序遍历
左→右→根
3.4 层序遍历
从第一层开始，从上至下逐层遍历，在同一层，按从左到右的顺序逐个访问
代码实现：
用队列来实现二叉树的层序遍历。先将根节点放入队列中，然后每次从队列中取出一个结点打印改结点的值，若这个结点有子结点，则将其子结点放入队列尾，直到队列为空。
3.5 四种遍历具体举例
先序遍历：ABDHIEJCFG
中序遍历：HDIBJEAFCG
后序遍历：HIDJEBFGCA
层序遍历：ABCDEFGHIJ
4 二叉排序树/二叉查找树
一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
（4）没有键值相等的结点。
定义结点：
public class Node {
public int data;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
left = null;
right = null;
}
}
BinaryTree类，可以构建二叉排序树/二叉查找树，可以先序遍历、中序遍历、后序遍历此二叉查找树。
public class BinaryTree {
private Node root;
public BinaryTree() {
root = null;
}
// 将data插入到排序二叉树中
public void insert(int data) {
Node newNode = new Node(data);// 建立新的node
if (root == null) {// 如果树为空的，将新建立的结点当作根节点
root = newNode;
} else {// 树不空
Node current = root;
Node parent;
while (true) {// 寻找插入的位置
parent = current;
if (data < current.data) {
current = current.left;
if (current == null) {
parent.left = newNode;
return;
}
} else {
current = current.right;
if (current == null) {
parent.right = newNode;
return;
}
}
}
}
}
// 将数值输入构建二叉树
public void buildTree(int[] data) {
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
insert(data[i]);
}
}
// 中序遍历方法递归实现
public void inOrder(Node localRoot) {
if (localRoot != null) {
inOrder(localRoot.left);
System.out.print(localRoot.data + " ");
inOrder(localRoot.right);
}
}
public void inOrder() {
this.inOrder(this.root);
}
// 先序遍历法递归实现
public void preOrder(Node localRoot) {
if (localRoot != null) {
System.out.print(localRoot.data + " ");
preOrder(localRoot.left);
preOrder(localRoot.right);
}
}
public void preOrder() {
this.preOrder(this.root);
}
// 后序遍历方法递归实现
public void postOrder(Node localRoot) {
if (localRoot != null) {
postOrder(localRoot.left);
postOrder(localRoot.right);
System.out.print(localRoot.data + " ");
}
}
public void postOrder() {
this.postOrder(this.root);
}
public static void main(String[] args) {
BinaryTree biTree = new BinaryTree();
int[] data = { 2, 8, 7, 4, 9, 3, 1, 6, 7, 5 };
biTree.buildTree(data);
biTree.inOrder();// 中序排列 1 2 3 4 5 6 7 7 8 9
System.out.println();
biTree.preOrder();// 先序排列 2 1 8 7 4 3 6 5 7 9
System.out.println();
biTree.postOrder();// 后序排列 1 3 5 6 4 7 7 9 8 2
}
}
5 平衡二叉树(AVL树)
是在二叉搜索树的基础上，要求任一结点的左子树和右子树的高度差最大为1。
完整定义：左子树上的所有节点的值都比根节点的值小，而右子树上的所有节点的值都比根节点的值大，且左子树与右子树的高度差最大为1。
