一、递归概念
1、程序直接或间接调用自身的编程技巧称为递归算（Recursion）。
2、直接或间接调用自身的函数称为递归函数
3、它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。
二、递归的基本思想
问题层层分解
把一个不能或不好解决的大问题转化为一个或几个小问题，再把这些小问题进一步分解成更小的小问题。
三、递归的关键
递归的关键在于找出递归定义和递归终止条件
递归定义：使问题向边界条件转化的规则。递归定义必须能使问题越来越简单。
如n！=n*（n-1）！
递归终止条件：也就是所描述问题的最简单情况，它本身不再使用递归的定义。
1！=1
四、递归算法解题的三个步骤
1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。
2）设置边界、控制递归：找出停止条件。
3）设计函数、确定参数：设计函数体中的操作及相关参数。
例:求最大公约数（欧几里德算法）
递归：gcd ( m, n ) = gcd ( n, m % n )
终止条件：gcd(m,0)=m
递归代码：
GCD(m,n) // 约定m>n
{ if (n==0) return(m);
else return (GCD(n,m mod n));
}
求 a^b 的值(快速幂)
例如当b ==5时，
a^5
=a*(a^4)
=a*(a2*a2)
=a*((aa)(a*a))
typedef long long ll;
ll binaryPow(ll a, ll b){
if(b == 1）
return a;
else if(b % 2 == 1)
return a * binaryPow(a, b - 1) ;
else{
ll num = binaryPow(a, b/2) ; //优化
return num * num ;// 不直接写成return binaryPow(a, b/2, m) * binaryPow(a, b/2, m)
}
五、集合的全排列问题
1、 先把高位排好，再关注少一位的排列情况；
2、高位有若干种情况，就需要将问题化为多个子问题。每个子问题都与高位的排列有关；
3、要列举出所有高位的情况，以确定子问题；
需要离散枚举！
//算法： 全排列问题的递归算法
// 产生从元素k～m的全排列，作为前k—1个元素的后缀
void Perm(int list[], int k, int m)
{
//构成了一次全排列，输出结果
if(k==m)
{
for(int i=0;i<=m;i++)
cout<<list[i]<<" ";
cout<<endl;
}
else
//在数组list中，产生从元素k～m的全排列
for(int j=k;j<=m;j++)
{
swap(list[k],list[j]);
Perm(list,k+1,m);
swap(list[k],list[j]);
}
}
六、半数集问题
给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n set(n)；
(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6，16，26，126，36，136}。
半数集set(6)中有6个元素。
注意半数集是多重集。
对于给定的自然数n，编程计算半数集set(n)中的元素个数。
设set(n)中的元素个数为 f(n)
以数字12 为例：
第一次半数集 112 212 312 412 512 612
忽略原始数字12 1 2 3 4 5 6
12 13 14
24，124 15
25，125 16
26，126
36，136
算法：计算半数集问题的递归算法
int comp(int n)
{
int ans=1;
if (n>1) for(int i=1;i<=n/2;i++)
ans+=comp(i);
return ans;
}
计算半数集问题的递归算法—记忆式搜索
int a[1001];
int comp(int n)
{
int ans=1;
if(a[n]>0)return a[n]; //已经计算
for(int i=1;i<=n/2;i++)
ans+=comp(i);
a[n]=ans; //保存结果
return ans;
}
