数列极限的理解

一. 数列

数列是特殊的序列，全部由数字组成。

1.1 通项公式 与 有通项公式的数列

如果存在某种以正整数为定义域的函数, 使得数列每一项的 标号 和数列每一项的值满足某种关系。
则这个函数被称为这个数列的 通项公式.
且通项公式足以描述整个数列.

eg:  1, 1/2, 1/3 ... 1/x

其通项公式为 $f(x) = \frac{1}{x}$
其定义域，也就是数列的标号范围为: $x \in (0, +\infty)$

1.2 数列通项公式的另一种表达形式

这种表达方式可能会使人困惑(x 会被联想为函数中的因变量，其实不是)

eg:  1, 1/2, 1/3 ... 1/n

通项公式: $x_n$
其中, x 代表函数名， n 代表函数因变量.
$x_n$ 的本质为函数: $x(n) = \frac{1}{n}$, $n \in (0, +\infty)$

1.3 关于数列通项公式的定义域解释

接下来我们以 $x_n$ 来表达数列的通项
谨记， $x_n$ 是一个函数.

n 不能取 0, 因为规定。
n 不能取 $+\infty$,

• 因为 + $\infty$ 大于任何实数，而数列的标号只能是实数.

二. 极限

极限: 只能无限接近, 永远触碰不到.

2.1 极限的定义

教科书上描述极限定义的语言非常的严谨，且不易懂。这也是本篇博文的重点.

符号语言描述为:
$n\rightarrow\infty,x_n\rightarrow A$
或者:
$\lim_{n\to\infty}{x_n} = A$

箭头代表 趋近于, 即无限接近，但永远不会取到.
A代表：被趋近的那个值.
 总含义为:

x (也就是通项公式的因变量) 无限趋近于 $\infty$ 时， $x_n$ 所代表的值 无限趋近于常数 A.

  所以千万不要被 lim 式子中的 = 号给蒙了。

其不代表 $n\rightarrow\infty$ 时， $x_n 的值为 A$ ! ! !
其不代表 $n\rightarrow\infty$ 时， $x_n 的值为 A$ ! ! !
其不代表 $n\rightarrow\infty$ 时， $x_n 的值为 A$ ! ! !
 而代表:
$n\rightarrow\infty$ 时， $x_n$ 的值 趋近 为 A ! ! !
$n\rightarrow\infty$ 时， $x_n$ 的值 趋近 为 A! ! !
$n\rightarrow\infty$ 时， $x_n$ 的值 趋近 为 A ! ! !

2.2 严谨而又难懂的定义

从古希腊开始，人们就追求数学上的极致严谨。
如何严谨的表示: “当n趋向于无穷大的时候，这个数列的值是无限接近某个值” ??

A: “啥是极限??”
B: “当n趋向于无穷大的时候, 极限就是 $X_n$ 无限接近于 A”
A:“我是杠精，你这说的一点也不严谨啊！你说无限接近，这个无限你怎么表示???”
B: “你随便说一个数 $\xi$(大于0)”
B: “不管你给的 $\xi$ 有多小”
B: “总是存在一个数 n(大于0)”
B: “其 $x_n与A的距离值$ 比你这个 $\xi$ 要小”

A: “你就吹吧你，你找出这个 N 来给我看看”
B: “你想啊， 0 到 + $\infty$ 之间有无限个数. 从 $x_0 到 x\infty$ 之间也有无限个项”
B: “从 $x_0到x_\infty$, 与 A 之间的距离越来越小。因为有无限个项, 你就随便给个 $\xi$>0. 我都能从左往右找，并找到一个 $x_n$ 与 A 的距离小于你”
A: “你这不是耍流氓嘛。不过确实可以啊”
A: “奥，懂了. 这就是 无限接近 啊”

A"那为啥书上说，存在 N >0, n > N. 使 $|x_n - A| < \xi$. 为什么非得用这个 N??"
B:“这个我是真的不会.”

2.3 极限的几何意义

$|x_n - A| < \xi$
$=> \xi-A < x_n < \xi+A$

2.4 特别注意

• 数列 ${x_n}$的极限与前有限项无关.
• $\xi 与 N 的作用$
• 几何意义
• 子数列收敛定律:

如果一个数列 xn 有极限，
那么其奇数项构成的数列x2n-1 和 偶数项构成的数列 x2n 都有极限。 
而且他们三个的极限都为 A

即同一个数列中
$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{2n-1} = A$
且 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{2n} = A$
如果 A == A, 则数列 $x_n$ 才有极限，且极限为 A.