【动归】B011_最长上升子序列（dp | 贪心 + 二分）

一、题目描述

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

Input: [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4 
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4. 

Note:
There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.
Your algorithm should run in O(n2) complexity.
Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

二、题解

方法一：dp

能找到思路了！

• 定义状态：dp[i] 表示下标至 i 为止的最长上升子序列。
• 思考状态转移方程：对于每一个元素，都要在区间 $[j, i]$ 检查 LIS 的长度。
  • $dp[i] = max(dp[i],\ dp[j]+1)$
• 思考初始化：对于长度大于 0 的子序列，其最短的上升子序列为自身。
  • $dp[0...N] = 1$
• 思考输出： $max(dp[i...N])$

如果你不理解最优子结构是 $dp[i] = max(dp[i],\ dp[i-1] + 1)$，可以模拟一下这段样例： $[1,3,6,7,9,4,10,5,6]$，答案是 6.

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
  final int N = nums.length;
  int[] dp = new int[N];
  Arrays.fill(dp, 1);

  for (int i = 1; i < N; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
      if (nums[j] < nums[i])
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
  }
  int max = Integer.MAX_VALUE;
  for (int i : dp)
    if (i > max)
      max = i;
  return max;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N^2)$，
• 空间复杂度： $O(N)$，

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方法二：二分查找优化（没想道）

遍历原数组 nums，将每个元素按照规则二分插入数组 LIS 中，LIS 中的元素都是升序排列的。

• 如果 LIS 中的元素比我大，我就覆盖 LIS 中第一个比我大的元素。
  • 可用二分。
• 否则，加到 LIS 的后面。

public int lengthOfLIS1(int[] nums) {
  final int N = nums.length;
  if (N < 2)  return N;

  int[] LIS = new int[N];
  LIS[0] = nums[0];
  int p = 1;
  
  for (int i = 1; i < N; i++) {
    if (nums[i] > LIS[p]) {
      LIS[++p] = nums[i];
      continue;
    }
    int l = 0, r = p;
    while (l < r) {
      int mid = l + ((r - l) >>> 1);
      if (nums[i] > LIS[mid]) l = mid + 1;
      else r = mid;
    }
    LIS[l] = nums[i];
  }
  return p;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N logN)$，
• 空间复杂度： $O(N)$，