Nicomachus定理

Nicomachus 尼科马霍斯

Nicomachus定理

• N的立方，等于N个连续奇数的累加和

1^3=1,
2^3=3+5,
3^3=7+9+11,
4^3=13+15+17+19,
\cdots

1. 起始奇数：

n^2-n+1

2. 结束奇数：

n^2+n-1

3. 每项的累加和：

(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+ \cdots +(n^2+n-1)

4. 由于起始到结束是一个连续奇数，所以可以等价于：从结束值之前的所有累加和 - 起始值前一个奇数的累加和：
   • 如需要计算5+7+9，就等价于(1+3+5+7+9) - (1+3)

(1+3+5+ \cdots +(n^2+n-1)) - (1+3+5+ \cdots +(n^2-n+1-2))
=
(1+3+5+ \cdots +(n^2+n-1)) - (1+3+5+ \cdots +(n^2-n-1))

• 这样就变成两个等差数列求和之后相减，等差数列求和：

S_n = n \times a_1 + \frac{n\times(n-1)\times d}{2}

• 等差数列项数：

n = (a_n - a_1) \times d + 1

- 于是，就可以算出两个等差数列的和

(1+3+5+ \cdots +(n^2+n-1)) - (1+3+5+ \cdots +(n^2-n+1-2))
=
(\frac{n^2 + n}{2})^2 - (\frac{n^2 - n}{2})^2

• 利用平方公式：

a^2 - b^2 = (a+b) \times (a-b)

• 得到

(\frac{n^2 + n}{2})^2 - (\frac{n^2 - n}{2})^2
=
(\frac{n^2 + n}{2} + \frac{n^2 - n}{2}) \times (\frac{n^2 + n}{2} - \frac{n^2 - n}{2})
= n^2 \times n
= n^3

• Nicomachus定理成立