概率论: 随机事件、统计量、常见分布、基本定理
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参考资料：百度文档
随机变量定义
- 若对随机试验的每一种可能结果 \(\omega\) \(\in\) \(\Omega\) 都有一个唯一的实数 \(\xi\)(\(\omega\)) 与之对应, 则称数值为随机变量. 实际上, 随机变量是将试验的结果映射到实数空间中. 比如男女分别为1, 0.$
- 随机变量可以是离散是连续的
随机变量的数字特征 概率分布
分为离散型分布:
\[ p(x_{i})\]
连续类型分布:
\[ p(x) \]
累计分布函数为:
\[ F(x)= \int_\infty^x{p(\xi)d\xi}\]
其积分求和为0.
使用抛硬币来说 \(p(0)=0.5;p(1)=0.5\)
随机变量数字特征 期望
数字特征：用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征
常用的数字特征:数学期望, 方差, 矩, 众数, 中位数, 协方差, 相关系数
离散类型期望：
设离散型随机变量\(X\)的概率分布为:
\[ P(X=x_i)=p_i,~~~ i=1, 2, 3,.... \]
若\(\sum_{i=1}^\infty{x_ip_i}\)绝对收敛, 则称\(\sum_{i=1}^\infty{x_ip_i}\)为随机变量X的期望或均值, 记为\(EX\), 即
\[ EX = \sum_{i=1}^\infty{x_ip_i} \]
注:
- \(EX\)度量了随机变量X的加权平均
- \(p_i(i=1, 2, 3...)\)为权重 $
连续型随机变量的期望:
定义:设随机变量X的密度函数为\(f(x)\), 若\(\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\)绝对收敛, 则称\(\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\)为随机变量\(X\)的期望或均值, 记为\(EX\).
随机变量函数的数学期望:
定义:设$ X $为随机变量, $ y=g(x) \(为实函数 1. 设\)X\(为离散型随机变量, 概率分布为\)P(X=x_i)=p_i, ~~i=1, 2, 3, ...\(,若\)\sum_{i=1}^\infty{g(x)p_i}$ 绝对收敛, 则\(E[g(x)]\)存在,且
\[ E[g(x)]=\sum_{i=1}^\infty{g(x)p_i}\]
- 设\(X\)为连续型随机变量, 密度函数为\(f(x)\), 若\(\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x)f(x)dx}\)绝对收敛, 则\(E[g(x)]\)存在, 且
\[ E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(x)f(x)dx}\]
例: 设随机变量的概率分布为:
| $ X $ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $ P $ | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
求\(E[x-EX]^2\) .
解:
\(EX=0*0.1+1*0.6+2*0.3=1.2\)
\(E[X-EX]^2=(0-1.2)^2\times 0.1+(1-1.2)^2\times 0.6+(2-1.2)^2\times 0.3=0.36\)
随机变量的方差
对随机变量\(X\),知道了它的数学期望\(EX\), 虽然对该随机变量有了一定了解, 但还不够.
例: 为评估一批灯泡的好坏, 从某种途径了解到其平均寿命为1000h, 即\(EX=1000\), 但不能完全肯定其质量的好坏.
- 有可能产品的寿命平均集中在950~1050h, 质量稳定!
- 有可能一半寿命为700小时, 另一半寿命为1300小时, 质量相对不稳定!
故需要找一个值， 能够度量随机变量\(X\)与\(EX\)的偏离程度.
- \(X-EX\)---->不能!\(X-EX\)是随机变量
- \(E(X-EX)\)---->不能!\(E(X-EX)=EX-EX=0\)(正负偏差相互抵消)
- \(E|X-EX|\)---->不便于计算
得:\(E(X-EX)^2\)
定义:设随机变量\(X\)的数学期望为\(EX\), 则称\(E(X-EX)^2\) 为随机变量\(X\)的方差, 记为\(D(X)\), 或\(Var(X)\) ,并称\(\sqrt{D(X)}\)为\(X\)的标准差.
方差的计算:
考虑到方差实际上是随机变量函数的数学期望:\(g(X)(X-EX)^2\), 因此
若\(X\)为离散型随心变量, 概念分布为\(p_i=P(X=x_i), ~~i=1,2,3...\)则
\[ D(X)=E(X-EX)^2=\sum_{i=1}^\infty{(x_i-EX)^2p_i} \]
若\(X\)为连续型随机变量, 概率密度为f(x), 则:
\[ D(X)=E(X-EX)^2=\int_{-\infty}^{+\infty}{(x_i-EX)^2f(x)dx} \]
有如下公式:
\[ D(X)=E(X^2)-(EX)^2 \]
证[^1]:
[^1]:根据【随机变量函数的数学期望】计算。
\[D(X)=E(X-EX)^2 = E(X^2 -2X*EX+(EX)^2)\]
\[=E(X^2)-2(EX)^2+(EX)^2\]
\[=E(X^2)-(EX)^2\]
方差的性质:
- \(D(C)=0~~C为常数\)
- \(D(X+C)=D(X)\)
- \(D(CX)=C^2D(X)\)
协方差
在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
\(Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]\)
\(=E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y)\)
\(=E(XY)-E(X)E(Y)\)
从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。