复球面和扩充复平面
引入坐标，得到复平面\(\mathbb{C}\),但如何处理无穷远点？引入\(\infty\),以此来扩展\(\mathbb{C}\),对所有有限的复数\(a\in\mathbb{C},a+\infty=\infty+a=\infty,\) 对所有的\(b\in\mathbb{C},b\neq0, b\cdot\infty=\infty\cdot b=\infty,\frac{b}{0}=\infty,\frac{a}{\infty}=0.\) \(\mathbb{C}\)中所有点加上"\(\infty\)",组成扩充复平面，记作\(\mathbb{C}^{*}\), 即\(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}.\)
下面对扩充复平面做一个几何模型，考察一个三维空间的单位球面\(S^2\),其方程为\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\)（三维空间的直角坐标为\(x_1,x_2,x_3\)）,在\(s^2\)上的每一点，除了(0,0,1)以外，我们可用一复数\[ z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3} \]
与之相对应，这个对应是一对一的，事实上\[ x_3=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1},~~~ x_1=\frac{z+\bar{z}}{1+|z|^2},~~~ x_2=\frac{z-\bar{z}}{1+|z|^2}.\]
令无穷远处对应点(0,0,1), 就完成了球面和扩充复平面的点的一一对应. 把球面\(S^2\)称为Riemann 球面，显然，\(x_3<0\)的半球面对应于单位圆盘\(|z|<1\), 而\(x_3>0\)的半球面对应于单位圆盘的外部\(|z|>1\).
复微分
如同普通微积分那样，定义复数域上的复值函数\(w=f(z)\), 为了有确切定义，先限定\(f(z)\)是单值的. 用\(\varepsilon-\delta\)语言来定义函数极限，即\[ \lim\limits_{z\to a}f(z)=A,\]
同理实值函数的极限定义. 如果\(\lim\limits_{z\to a}f(z)=f(a)\),则称\(f\)在\(a\)点连续.
如同普通微积分那样，可以在复平面上定义开集、闭集、集合的连通性、紧致性，等等. 定义复平面中的曲线为区间\([\alpha,\beta]\)上的连续复值函数\(\gamma(t):=x(t)+iy(t)\),其中\(\alpha\leq t\leq\beta\), \(x(t),y(t)\)为\(t\)的连续实值函数. 如果\(\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)\),则称\(\gamma(t)\)为闭曲线. 曲线的方向就是\(t\)增加的方向. 如果\(\gamma'(t)\)存在且连续，则称\(\gamma(t)\)为光滑曲线，如果\(\gamma'(t)\)除去有限个点外是连续的, 在这有限个点处有左右导数, 则称为分段光滑曲线. 分段光滑曲线是可求长的. 若\(\gamma(t)\)是单射,则称为简单曲线, 或Jordan曲线, 进而有简单闭曲线或Jordan闭曲线.
定义1 复平面上的一个点集\(D\)称为一个域, 如果
(1) \(D\)为开集.
(2) \(D\)为连通的, 即\(D\)中任意两点均可用完全位于\(D\)中的曲线把它们连接起来.
下面的事实是直观的，但证明起来却很复杂，故述而不证.
定理2 Jordan定理 一条简单闭曲线\(\gamma\)把复平面分成两个域, 其中一个是有界的，称为\(\gamma\)的内部，另一个是无界的，称为外部. \(\gamma\)是这两个域的共同边界.
域\(D\)的边界记为\(\partial D\). 域\(D\)被称为是单连通的，如果\(D\)内任何简单闭曲线的内部仍属于\(D\),不是单连通的区域称为多连通的. 由两条Jordan闭曲线所围成的域是二连通域, 由\(n\)条Jordan闭曲线所围成的区域是\(n\)连通域，这些闭曲线可能退化成为一个点或一条Jordan曲线. 此外，如同实数域的情形那样，可以证明Heine-Borel, Bolzano-weierstrass.
现在来讨论复变函数的导数.
定义3 实可微. 设\(f\)是从开集\(\Omega\)到\(\mathbb{C}\)中的函数, \(a\in\Omega,\) 如果存在复常数\(A,B\)使得\[\lim\limits_{z\to 0}\frac{f(a+z)-f(a)-Ax-By}{z}=0,\]
则称\(f\)在\(a\)处实可微.
极限式可写作\[f(a+z)=f(a)+xA+yB+o(z)~~~(z=x+iy\to 0).\]
如果\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在\(a=a_1+ia_2\)处实可微, 可以定义\(f(z)\)在\(a\)点的微分为\(df(a)=du(a_1,a_2)+idv(a_1,a_2)\), 简记为\(df=du+idv\). 进而有\[df(a)=\frac{\partial f}{\partial x}(a)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(a)dy.\]
引入微分算子\[\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}), \frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}).\]
相应地，有\[df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}d\bar{z}.\]
复可微、解析
定义1 若\(w=f(x),\)那么自然考察\[\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},\]这里, \(h\)为复数, 如果这个极限对于所有的\(h\to0\)都存在且相同, 则称\(f(z)\)在\(z\)点复可微, 记作\(\frac{df}{dz}\)或者\(f'(z)\),称为\(f(z)\)在点\(z\)处的微商或导数. 如果\(f(z)\)在定义域上每一点都可微, 则称\(f(z)\)为其定义域上的解析函数(analytic function)或全纯函数（holomorphic function）.
若\(f(z)=u(z)+iv(z)\)在点\(z_0=x_0+iy_0\)处可微, 则
\[\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)\]对于任意途径的\(z\to z_0\)都存在相等, 则有Cauchy-Riemann 方程
\[ u_x=v_y,~~~ u_y=-v_x.\]
要知道, C-R方程为\(f\)在\(z\)点复可微的必要条件，但不充分.