HMM模型（Ⅰ）—原理与简用
引言
最近几天，由于疫情的影响，笔者这几天宅家钻研数模中隐马尔可夫模型（HMM），于是将所学所想整理成学习笔记，遂成此文。
HMM简绍
关于HMM的介绍很多，笔者在此处的思想主要学习于李航老师所著的《统计学习方法》一书与一些博客大佬的文章。
什么是HMM？比如说生活中，会有很多事情发生，发生的事情的结果是可观的，利用数学的方法我们也可以计算其发生的概率，但是，有些事情发生，还有其背后的隐藏状态在作祟。
举个最经典的例子说：有3个箱子编号1、2、3号箱，3箱各放置一定数量的红球与白球，每次我们随机从箱子中取球，计入颜色后放回箱中，那么我们怎么来计算所取球色序列的发生概率呢？这时我们需要一个数学模型来计算其的概率，HMM模型便是用于解决此问题所作的一个数学模型。
数学原理
符号约定
模型假设
模型可以解决的问题
1、概率计算：已知A、B、pi求概率P（O|λ）
2、学习问题：给定O，估计A、B、pi的参数
3、预测（编码）问题：已知O、A、B、pi，求最优的I
解决问题的算法
前向-后向（forward-backward）算法
主要思想如笔者笔记所述：
前向算法：定义前向概率at（i）：前都为O的序列，t时刻在qi状态的概率
算法思想：
后向算法：
定义后向概率bt（i）：t时刻（0t到T都是O序列下的事件）为状态qi的概率
算法思想：
放如下插图便于读者理解：
Bawn-Welch算法（EM）
算法思想：
维特比（Viter）算法
算法思想
写在后面：
模型的数学原理讲述源自笔者个人的浅见，如有不明或请参照原著的详细讲解。
简用
例子源自李航老师所著的《统计学习方法》一书，实现工具选用的是python及其第三库hmmlearn：
例子
求解程序与结果：
首先定义好HMM模型的三要素
# 隐藏状态：4个盒子
states = ['box1', 'box2', 'box3','box4']
n_states = len(states)
# 观测状态：2种球
observations = ['red', 'white']
n_observations = len(observations)
# 模型参数
#初始概率分布
start_probability = np.array([0.25, 0.25, 0.25,0.25])
#概率转移矩阵
transition_probability = np.array([[0,1,0,0],[0.4,0, 0.6, 0],[0, 0.4,0, 0.6],[0,0,0.5,0.5]])
#观测分布矩阵
emission_probability = np.array([[0.5, 0.5],[0.3, 0.7],[0.6, 0.4],[0.8,0.2]])
调用第三方库进行求解计算：
# 用于离散观测状态
model = hmm.MultinomialHMM(n_components = n_states)
model.startprob_ = start_probability
model.transmat_ = transition_probability
model.emissionprob_ = emission_probability
维特比算法计算最佳路径：
# 维特比算法
seen = np.array([[0,0,1,1,0]]).T
logprob, box = model.decode(seen, algorithm='viterbi')
print(logprob)
print(np.array(states)[box])结果：
-6.24746192329327
['box4' 'box3' 'box2' 'box3' 'box4']
即：最佳路径为：['box4' 'box3' 'box2' 'box3' 'box4']
对应概率：exp（-6.24746192329327）Bawn-Welch算法估计参数
#B-W算法
model2 = hmm.MultinomialHMM(n_components=n_states, n_iter=20, tol=0.01)
X2 = np.array([[0,0,1,1,0]])
model2.fit(X2)
print('startprob_：', model2.startprob_)
print('transmat_'：, model2.transmat_)
print('emissionprob：', model2.emissionprob_)
计算结果
初始状态概率
startprob_： [5.98479556e-53 2.63556559e-28 1.00000000e+00 2.79990233e-30]
状态转移矩阵
transmat_： [[5.25522859e-14 2.41571237e-23 6.89714885e-23 1.00000000e+00]
[9.99643444e-01 2.14478163e-67 3.48923494e-79 3.56556038e-04]
[2.48327760e-30 1.00000000e+00 1.32387087e-35 5.07754698e-30]
[4.33212339e-16 5.84359862e-01 4.15281391e-01 3.58746763e-04]]
状态观测矩阵
emissionprob： [[1.14796980e-22 1.00000000e+00]
[1.00000000e+00 2.57962471e-27]
[1.00000000e+00 1.25797699e-11]
[2.31782429e-06 9.99997682e-01]]前向-后向（forward-backward）算法计算P（O|λ）
#利用前后向算法计算X2的概率
print('score: ', model2.score(X2))
计算结果
score: -1.3863930415785406
P=exp（score）小结
HMM数学模型的理解并不难，现阶段笔者也拜读了一部分的关于HMM的文献、博客等，其在追求的精化的地方主要在用数学方法，亦或改进数学模型、亦或改进状态数的分析数量、可观测序列的选取，以求达到其模型预测的准确性，一般而言，若可观数为n，模型的预测的准确率若大于1/n，则该模型具有可取价值。对于HMM的应用价值，以上便为笔者现阶段的浅见。同时笔者存在的问题主要在模型解释，与python的hmmlearn库的熟练使用上，仍有提升之处。不足之处望读者多多指正。
参考文献
李航《统计学习方法》P171-P189
