前言
对勾型函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)是高中数学中的一个非常特殊且高频考查的函数，其更一般的情形是\(f(x)=\)\(ax\)\(+\cfrac{b}{x}\)\((a,b>0)\)，由于其图像样子像对勾\(\checkmark\) ，所以好多人形象的称其为“对勾函数”，又或称其为“耐克函数”。
模型解读
分析：函数的定义域是\(x\in(-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，且是奇函数，
故只先研究\(x\in(0，+\infty)\)上的图像，研究工具是导数。
先求导，得到\(f'(x)=1-\cfrac{1}{x^2}=\cfrac{x^2-1}{x^2}\)，
令\(f'(x)>0\)，即\(x^2-1>0\)，得到\(x>1\)；
令\(f'(x)<0\)，即\(x^2-1<0\)，得到\(0<x<1\)；结合奇函数的特性，
可知，函数在区间\((-\infty，-1]\)单增，在\([-1，0)\)单减，在\((0，1]\)单减，在区间\([1，+\infty)\)单增，
又\(f(1)=2，f(-1)=-2\)，做出函数的简图，
可知函数的值域为\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。
另解： \(|y|=|x+\cfrac{1}{x}|=|x|+|\cfrac{1}{x}|\geqslant 2\)，即\(|y|\geqslant 2\)，
故函数的值域为\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。