s型函数

性质1：导数最大值的求解

$f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}$
对 $f(x)$求导的 $\frac{df}{dx}=\frac{Abe^{a-bx}}{(e^{a-bx}+1)^2}=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^\frac{1}{2}+(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}]^2}$
由 $(e^{a-bx})^{\frac{1}{2}}\ge0$和 $(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}\ge0$可以满足以下条件:
$(e^{a-bx})^{1/2}+（e^{a-bx})^{-1/2}\ge \sqrt{(e^{a-bx})^{1/2}\times(e^{a-bx})^{-1/2}}=2$当 $(e^{a-bx})^{1/2}=(e^{a-bx})^{-1/2}$时取得 $"="$
所以 $(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}$最小值为 $2$
$f'(x)=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}]}\leq{ \frac{Ab}{4}}$

性质2：中心对称的证明

关于点 $(x_0,y_0)$中心对称函数满足性质 $f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0$
假设 $s$型函数的中心对称，且关于点 $(\frac{a}{b},\frac{A}{2})$中心对称则满足
$f(\frac{a}{b}+x)+f(\frac{a}{b}-x)=\frac{A}{1+e^{-bx}}=A……（1）$
易得
$f(\frac{a}{b}+x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}+x)}}=\frac{A}{1+e^{-bx}}=\frac{Ae^{bx}}{1+e^{bx}}……(2)$
$f(\frac{a}{b}-x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}-x)}}=\frac{A}{1+e^{bx}}……（3）$
由（2）和（3）式子的（1）式成立
既：s型函数关于点 $(\frac{a}{b},\frac{A}{2})$对称

性质3：经过定点 $(0,\frac{A}{1+e^a})$

当多组 $f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}$函数中参数A,a相同参数b不同则函数同过点 $(0,\frac{A}{1+e^a})$