bzoj3308 九月的咖啡店 杜教筛

Description

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很久很久以前，有一只神犇叫yzy;
很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;
请你输出一个整数$A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}$
请你输出一个整数$B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}$

Solution

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第一问非常sb，回想μ的定义可知答案一定为1

第二问可以变成求$B=\sum_{i=1}^{N}\varphi(i)i$
熟练掌握了杜教筛的我敏锐发觉这可做，省去一堆套路可得到
$S(N)=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\sum_{i=2}^{N}d\times S\left(\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\right)$

主要做法就是令$f(i)=\varphi(i)i$，令$g(i)=i$，然后对这两个函数的迪利克雷卷积求前缀和

然后就是套杜教筛就行了。交错题目连续WA我也很难受

Code

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=10000000;
const int ny6=166666668;

int prime[N/10];
LL f[N];

bool not_prime[N+5];

std:: map <LL,LL> map;

void pre_work() { f[1]=1;
    rep(i,2,N) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            f[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=prime[0];j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                f[i*prime[j]]=f[i]*prime[j];
                break;
            }
            f[i*prime[j]]=f[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    rep(i,1,N) f[i]=(f[i-1]+f[i]*i%MOD)%MOD;
}

LL S(LL n) {
    if (n%2) return ((n+1)/2)%MOD*n%MOD;
    return (n/2)%MOD*(n+1)%MOD;
}

LL calc(LL n) {
    if (n<=N) return f[n];
    if (map[n]) return map[n];
    LL ret=0;
    for (LL i=2,j;i<=n;i=j+1) {
        j=n/(n/i);
        ret=(ret+(S(j)-S(i-1)+MOD)%MOD*calc(n/i)%MOD)%MOD;
    }
    ret=(n*(n+1)%MOD*(2*n+1)%MOD*ny6%MOD-ret+MOD)%MOD;
    map[n]=ret;
    return ret;
}

int main(void) {
    pre_work();
    LL n; scanf("%lld",&n);
    printf("1\n%lld\n", calc(n));
    return 0;
}