组合数学中杨辉三角与二项式定理以及代码实现

首先给出杨辉三角（也叫帕斯卡三角形数阵，但我们中国比他早300年）如上图，可以发现三角两边都是1，而中间的数都是上面两个数的和，满足dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]这样的递推关系。
然后再来看 $(a+b)^{n}$，将它展开会得到：
$(a+b)^{0}=1$
$(a+b)^{1}=a+b$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b^{}+3a^{}b^{2}+b^{3}$
可以发现每项前面的系数和杨辉三角中的数字很吻合。我们再来看二项式定理：
$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k}\qquad$
那么二项式定理表示的是什么意义呢，首先这相当于n个（a+b）相乘，那么在每个括号里肯定要选出a或者b来和另外几个括号中的a或者b来相乘，那么有多少种情况呢，我们假设在这n个括号中选择了k个b，那么剩下的就是n-k个a了，情况总数是 $C^{k}_{n}$或者 $C^{n-k}_{n}$根据组合数的性质，这两个数是相等的。
然后我们就可以证明下面这个等式：
$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}$
这个可以这么理解一下：
在n件物品中选出m件物品有多少种可能性？
答案是：从n-1件中选出m-1件的可能性+从n-1件中选出m件的可能性。（第m件物品可选可不选）
这和上面杨辉三角形有非常密切的联系，和其所满足的递推式也异常相似。（证明好长，明白就好了。。）
通过这个等式我们可以推出所有的组合数。

for(int i=1;i<=1000;i++)
    {
        c[i][0]=1;c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }

很明显时间复杂度 $O(n^{2})$
但还有一个可以求非常小范围组合数的等式：
$C^{k}_{n}=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}$
下面是证明过程：
$C^{k}_{n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$=\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{k(k-1)!}$
$=\frac{n-k+1}{k}\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}(上下同乘(n-k+1)!)$
$=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}$

int n;
    cin>>n;
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i;\\先乘后除