MIT_Linear_Algebra_lec18 19: 行列式的性质 行列式及代数余子式

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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十个行列式性质

det(I ) = 1

交换行列式任意两行，相当于乘以-1

$\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right| = - \left| \begin{matrix} c & d\\ a & b\\ \end{matrix} \right|$

行列式某行有一个公因子，可以提出来

$\left| \begin{matrix} ta & tb\\ c & d\\ \end{matrix} \right| =t \left| \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right|$

行列式每一行具有线性性

$\left| \begin{matrix} a+t & b + t\\ c & d\\ \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} t & t\\ c & d \\\end{matrix}\right|$

如果两行相等，则行列式为零

$\left| \begin{matrix} a & b\\ a & b\\ \end{matrix} \right|$ = 0

任意消元不改变行列式的值

比如说 第k行 减去 l 倍 第i行

若有一行全为零，则行列式为零

对角矩阵、上下三角矩阵的行列式为对角线上元素的乘积

如果行列式为零，则是奇异矩阵；反之行列式不为零，则可逆

行列式的乘积 = 乘积的行列式

$|AB| = |A||B|$

等于转置矩阵的行列式

$|A^T| = |A|$

代数余子式公式

$|A|$= $\left| \begin{matrix} a_11 & a_12 & a_13 &.... & a_1n\\ a_21 & a_22 & a_23 & ..... & a_2n\\ . \\ . \\ a_n1 & a_n2 & a_n3 & ... & a_nn \\ \end{matrix} \right|$= $(-1)^2$ $a_11$ $\left| \begin{matrix} a_22 & a_23 & ... & a2_n\\ a_32 & a_33 & ... & a3_n \\ . \\ a_n2 & a_n3 & ... & an_n\\ \end{matrix} \right|$ + …