矩阵知识：正交矩阵、行列式、子式与代数余子式

一、正交矩阵

1.1 $R^n$ 的标准正交基

1.1.1 定义

$R^n中的n个向量\eta_1,\eta_2,...,\eta_n满足:$

$(1)两两正交：\eta_i^T\eta_j=0(i\ne0)$

$(2)都是单位向量，即||\eta_i||=1,i=1,2,...,n$

$则称\eta_1,\eta_2,...,\eta_n为R^n的一组标准正交基$

注：

标准正交基不唯一，例如{(1,0),(0,1)}和{( ${\sqrt{2}\over2},{-\sqrt{2}\over2},({\sqrt{2}\over2},{\sqrt{2}\over2})$ )}
标准正交基的特点：
$设\eta_1,\eta_2,...,\eta_n为R^n的一组标准正交基,设\eta=(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n),则：$

$\eta^T\eta=\begin{pmatrix}\eta_1^T\\\eta_2^T\\\vdots\\\eta_n^T\end{pmatrix}(\eta_1\eta_2\dots\eta_n)=\begin{pmatrix}\eta_1^T\eta_1&\eta_1^T\eta_2&\dots&\eta_1^T\eta_1\\\eta_2^T\eta_1&\eta_2^T\eta_2&\dots&\eta_2^T\eta_1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\eta_n^T\eta_1&\eta_n^T\eta_2&\dots&\eta_n^T\eta_1\end{pmatrix}$

1.2 两组标准正交基间的过渡矩阵

$设\xi_1,\xi_2,...,\xi_n与\eta_1,\eta_x,...,\eta_n是R^n的两组标准正交基，令\xi=(\xi_1\xi_2\dotsx_n),\eta=(\eta_1\eta_2\dots\eta_n)，由\xi到\eta的过渡矩阵为Q，即\eta=\xi Q，则Q^TQ=E$

证明：
$\because\eta=\xi Q,\eta^T=Q^T\xi^T$

$\therefore \eta^T\eta=Q^T\xi^T\xi Q$

$\because\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ 与 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ 均为标准正交基

$\therefore\xi^T\xi=E,\eta^T\eta=E$

$\therefore Q^TQ=E$

过渡矩阵的一个例子：

假设 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是 $R^3$ 的一组标准正交基，通过证明，我们可以得到

$\xi_1={1\over\sqrt{2}}\eta_1-{1\over\sqrt{2}}\eta_2$

$\xi_2={1\over\sqrt{6}}\eta_1+{1\over\sqrt{6}}\eta_2-{2\over\sqrt{6}}\eta_3$

$\xi_3={1\over\sqrt{3}}\eta_1+{1\over\sqrt{3}}\eta_2+{1\over\sqrt{3}}\eta_3$

新的到的 $\xi$ 同样是一组标准正交基，而这个正交基就是 $\eta$ 通过过渡矩阵 $Q=\begin{pmatrix}{1\over\sqrt{2}}&{1\over\sqrt{6}}&{1\over\sqrt{3}}\\-{1\over\sqrt{2}}&{1\over\sqrt{6}}&{1\over\sqrt{3}}\\0&-{2\over\sqrt{6}}&{1\over\sqrt{3}}\end{pmatrix}$ 得到的：

$\xi=\eta Q$

1.3 正交矩阵及其性质

1.3.1 正交矩阵定义

$实数域R上的n阶矩阵Q满足Q^TQ=E，则称Q为正交矩阵$

1.3.2 正交矩阵性质

n阶矩阵Q为正交矩阵 $\iff Q^{-1}=Q^T$
$Q$ 为正交矩阵，则 $Q^{-1}$ 也是正交矩阵
若P，Q都是n阶正交矩阵，则PQ也是n阶正交矩阵
Q为正交矩阵，则 $|Q|=\pm1$

1.3.2 定理：

$设Q_n=(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n)=\begin{pmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\vdots\\\beta_n^T\end{pmatrix}，则Q_n为正交矩阵$

$\iff 列向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n的一组标准正交基$

$\iff 行向量组\beta_1^T,\beta_2^T,...,\beta_n^T为R^n的一组标准正交基$

小结：

设 $(\eta_1\eta_2\dots\eta_n)=(\xi_1\xi_2\dots\xi_n)Q$

若 $\xi$ 和 $\eta$ 均为标准正交基，则过渡矩阵Q是正交矩阵
若 $\xi$ 是标准正交基，Q是正交矩阵，则 $\eta$ 是标准正交基
若 $\eta$ 是标准正交基，Q是正交矩阵，则 $\xi$ 是标准正交基

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二、行列式

2.1 定义

为了给出n阶行列式的定义，首先我们研究三阶行列式的结构：
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

2.1.1 结构一

行列式右边任一项除正负号外可以写成：
$a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$
其中 $p_1p_2p_3$ 是123的某个排列
各项所带的正负号可以表示为 $(-1)^t$ ，其中t由列指标排列 $p_1p_2p_3$ 所决定（称为 $p_1p_2p_3$ 的逆序数）
三阶行列式可以写成：
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$

2.1.2 由结构一得到n阶行列式的传统定义

$由n^2个数a_{ij}(i,j=1,2,...,n)构成的代数和$

$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$

$称为n阶行列式，记为：$

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}$

$简记为det(a_{ij})，其中p_1p_2\dots p_n为自然数1,2,...,n的一个排雷，t为这个排列的逆序数，\sum表示对所有排列求和$

$在n阶行列式D中，数a_{ij}为行列式D的(i,j)元$

$特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a$

2.1.3 结构二

为了给出n阶行列式的第二种定义方式，我们再进一步研究三阶行列式的结构：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

由以上推导，我们可以得到n阶行列式的递归法定义：
$由n^2个数a_{ij}(i,j=1,2,...,n)组成的n阶行列式：$

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}$

$是这样一个算式：$

$当n=1时，定义D=|(a_{11})|=a_{11};$
$当n\ge2时，定义D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\dots+a_{1n}a_{1n}$
$其中A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}，M_{ij}是D去掉第i行第j列全部元素后，按原顺序排成的n-1阶行列式$
$M_{ij}为元素a_{ij}的余子式，A_{ij}是元素a_{ij}的代数余子式$

注：
只有方阵才有行列式！

2.2 性质

2.2.1 性质1

$设A为方阵，则|A^T|=|A|，即转置不改变方阵的行列式$
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。

2.2.2 性质2

行列式等于它的任一行元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：
$D=a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}\quad(i=1,2,\dots,n)$

推论：
行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：
$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}\quad(j=1,2,...,n)$

2.2.3 性质3（线性性质）

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\dots&a_{in}+b{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\dots&b{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}$

推论：

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
某一行（列）的所有元素全为0的行列式其值为0

注意：
矩阵的数乘是指用常数乘以矩阵的每一个元素，假如存在一个n=k的行列式，那么以下等式成立：
$|\lambda A|=\lambda^k|A|$

2.2.4 性质4

行列式中如果有两行（列）完全相等，则行列式等于0

推论：
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式等于0

2.2.5 性质5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

2.2.6 性质6

行列式的两行（列）对换，行列式的值反号

证明：
$0=|a_{1},...,a_{i}+a{j},...,a_i+a_j,...,a_n|$
$\quad=|a_1,...,a_i,...,a_i+a_j,...,a_n|+|a_1,...,a_j,...,a_i+a_j,...,a_n|$
$\quad=|a_1,...,a_i,...,a_j,...,a_n|+|a_1,...,a_j,...,a_i,...,a_n|$
即： $|a_1,...,a_i,...,a_j,...,a_n|=-|a_1,...,a_j,...,a_i,...,a_n|$

初等变换与行列式：

将某一行的倍数加到另外一行：行列式不变
两行互换：行列式 $\times(-1)$
将某一行 $\times c$ ：行列式 $\times c$

注意进行列变换可以得到相同的结论

2.2.7 性质7

由以上初等变化的性质与行列式的关系可知：
矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式。

证明：
所有行列式非0的行列式都可以化为单位矩阵和一系列初等矩阵的乘积，单位矩阵的乘积行列式等于1，初等矩阵和矩阵乘积的行列式就等于初等矩阵和矩阵行列式的乘积，可以得到证明。

https://wenku.baidu.com/view/e333c62a69dc5022abea0066.html

2.2.8 性质8

在这里插入图片描述

2.3 几个等价结论

$|A|\ne0$
$\iff A可逆$
$\iff R(A)=n$
$\iff A的列（行）向量组线性无关$
$\iff AX=0仅有零解$
$\iff AX=b有唯一解$
$\iff 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示$
$\iff A课表示成初等矩阵的乘积$
$\iff A的定价标准形式单位矩阵$
$\iff A的行最简形是单位矩阵$
$\iff A的特征值都不等于0$
$\iff A^TA是正定矩阵$

2.4 行列式的几何本质

行列式是线性变换的伸缩因子

以下从线性变换出发取理解行列式

2.4.1 线性变换的几何性质

线性变换的几何性质有以下三点：

变换前是直线的，变换后依然是直线
直线比例保持不变
变换前是原点的，变换后依然是原点

旋转：
在这里插入图片描述

推移：

这两个的叠加：

2.4.2 实现线性变换的矩阵

在这里插入图片描述

矩阵变换的根本是变换基
以旋转为例：

我们只需要旋转基，就可以完成正方形的旋转：

在这里插入图片描述

以下是一个矩阵旋转时基是怎样变化的：
在这里插入图片描述

再给一个例子，看下推移是怎么改变基的：

2.4.3 由上面推导到行列式

行列式是线性变换的伸缩因子

图片说明：

矩阵行列式由正到负，线性变换的变化：
行列式>0时：

如果行列式大于1，很显然对于图形有放大的作用
行列式等于1，图形的大小不会变换
行列式大于0小于1，对于图形有缩小的作用

行列式=0

行列式=0，有一个很重要的结论是，矩阵不可逆，以下是关于不可逆的几何解释：
假设存在一个矩形，原始的图像是这样：
在这里插入图片描述
通过如下的矩阵，逆时针旋转45°：

此时可通过另外一个矩阵，顺时针旋转45°：

此时这个正方形看起来就像没有变化，称：

两个矩阵互为逆矩阵

有的线性变换是可逆的，有的不行，比如如果矩阵的行列式为0，这时候变换后的正方形就会缩成一个点：
在这里插入图片描述
或者缩成一条直线：

没有矩阵可以将点或者直线恢复成矩阵。

行列式<0

原始图像如下：
在这里插入图片描述
被行列式<0的矩阵线性变换后变为如下形式：

行列式小于零，其实就是改变了基的“左右手法则”。

2.4.4 推论

知道了行列式的意义，我们就很容易知道：
在这里插入图片描述
同时我们也很容易知道：

因为：

三阶行列式是列组成的平行六面体的体积

https://www.zhihu.com/question/36966326

三、子式与代数余子式

3.1 定义

3.1.1 定义1

在一个n阶行列式D中任取k行k列，则位于这些行列的相交处的元素构成的k阶行列式被称为行列式D的一个k阶子式
在这里插入图片描述

3.1.2 定义2

$n>1阶行列式D=\begin{vmatrix}a_{11}&\dots&a_{1j}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{i1}&\dots&a_{ij}&\dots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nj}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}的某一元素a_{ij}的余子式M_{ij}是指D中划去a_{ij}所在行与列后剩下的n-1阶子式$

3.1.3 定义3

$n阶行列式D的元素a_{ij}的余子式M_{ij}附上符号(-1)^{i+j}后，被称为元素a_{ij}的代数余子式$
$元素a_{ij}的代数余子式用符号A_{ij}表示为：$
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

3.2 定理

3.2.1 定理1

$行列式D等于它任一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，也就是说：$
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$
$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$

3.2.2 定理2

在这里插入图片描述
https://wenku.baidu.com/view/e191149b48649b6648d7c1c708a1284ac850050e.html?fr=search